Section outline

  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Γενικές Πληροφορίες

    Σύμπτυξη όλων Ανάπτυξη όλων

    Complications

    Διδάσκων

    Θεόδουλος Γαρεφαλάκης

    Γραφείο Γ216
    email tgaref@uoc.gr
    Ώρες γραφείου Τρίτη 11:00 - 13:00

     

    Διαλέξεις

    Τρίτη  9:00 - 11:00 (Α201)
    Πέμπτη 9:00 - 11:00 (Α201)

     

    Εργαστήριο

    Παρασκευή 13:00 - 15:00 (Ε212)

     

    Φροντιστήριο

    Δευτέρα 13:00 - 15:00 (Α212)

     

    Βαθμολογικό Σύστημα

     Θα γίνει μία πρόοδος περίπου στα μέσα του εξαμήνου και μία τελική εξέταση στην εξεταστική περίοδο του Ιουνίου. Εάν ο βαθμός της προόδου είναι Π και ο βαθμός της τελικής εξέτασης είναι Τ, τότε ο βαθμός του μαθήματος υπολογίζεται ως Β = \max\{0.3\cdot Π + 0.7\cdot Τ, Τ\}. Ο βαθμός της προόδου δεν μετράει στην εξέταση του Σεπτεμβρίου (εφόσον χρειαστεί να εξεταστείτε το Σεπτέμβρη). Σε κάθε φυλλάδιο ασκήσεων (από το 2ο φυλλάδιο και έπειτα), αναφέρονται κάποιες ασκήσεις προς παράδωση. Μπορείτε να δίνεται τις ασκήσεις αυτές κατά τη διάρκεια του εργαστηρίου. Οι ασκήσεις αυτές δίνουν έως μία μονάδα επιπλέον στον τελικό βαθμό σας (και ανάλογα με το πόσες ασκήσεις θα παραδώσετε κατά τη διάρκεια του εξαμήνου: αν για παράδειγμα, παραδώσετε τις μισές ασκήσεις, θα πάρετε μισή μονάδα).

    Συγγράμματα

    1. Σημειώσεις του μαθήματος "Θεμέλια των Μαθηματικών", Χ. Κουρουνιώτης
    2. Αφελής Συνολοθεωρία, P. Halmos, Εκκρεμές.
    3. Σύνολα και Αριθμοί: Μία εισαγωγή στα Μαθηματικά, Τσολομύτης, LEADER BOOKS
    4. The Foundations of Mathematics, Stewart and Tall, Oxford University Press.

     

    Συνιστούμε ισχυρά  να παρακολουθείτε τις διαλέξεις και να συμμετέχετε στα εργαστήρια. Λύνοντας ασκήσεις στην διάρκεια του εξαμήνου είναι ο καλύτερος τρόπος αφενός να μάθετε και αφετέρου να εξασκηθείτε για τις εξετάσεις του μαθήματος.

     
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    9 Φεβρουαρίου - 15 Φεβρουαρίου

    Κάναμε μία εισαγωγή στην έννοια του συνόλου. Μιλήσαμε για υποσύνολα και είδαμε ότι δύο σύνολα A, B είναι ίσα αν και μόνο αν A\subseteq B και B\subseteq A. Χρησιμοποιήσαμε αυτή τη βασική πρόταση για να δείξουμε διάφορες ισότητες συνόλων στη συνέχεια.

    Ορίσαμε την έννοια της ένωσης και της τομής συνόλων και δείξαμε κάποιες (απλές) προτάσεις.

    Ορίσαμε τη διαφορά συνόλων και το συμπλήρωμα ενός συνόλου εντός ενός υπερσυνόλου (που συχνά ονομάζουμε σύμπαν). Δείξαμε τους κανόνες De Morgan. Ορίσαμε τη συμμετρική διαφορά δύο συνόλων.

    Ορίσαμε άπειρες ενώσεις και τομές συνόλων και είδαμε παραδείγματα.

    Διαβάστε: σελ. 1-9 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.

    Διαβάστε: σελ. 9-16 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    16 Φεβρουαρίου - 22 Φεβρουαρίου

    Ορίσαμε το καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων A\times B και είδαμε παραδείγματα και βασικές ιδιότητες. 

    Ορίσαμε μία σχέση \rho μεταξύ των συνόλων A, B, ως ένα υποσύνολο του A\times B. Είδαμε παραδείγματα σχέσεων.

    Ονομάσαμε μία σχέση \sim επί ενός συνόλου A, σχέση ισοδυναμίας, όταν είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. 

    Είδαμε ότι για ένα μην μηδενικό n\in \mathbb{Z}, μπορούμε να ορίσουμε στο \mathbb{Z} τη σχέση

    x \sim y\ \ \Longleftrightarrow\ \ n\mid x-y.

    Η παραπάνω σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας.

    Διαβάστε: σελ. 17-24 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    23 Φεβρουαρίου - 1 Μαρτίου

    Δεδομένης μίας σχέσης ισοδυναμίας \sim σε ένα σύνολο Α, ορίσαμε την κλάση του στοιχείου x\in A ως το σύνολο των στοιχείων του A που είναι ισοδύναμα με το x

    [x] = \{y\in A : y\sim x\}.

    Συμβολίσαμε το σύνολο όλων των κλάσεων της σχέσης \sim με 

    A /\sim\ \  =\ \{[x] : x\in A\}.

    Μελετήσαμε τη σχέση \equiv_n (ορισμένη στο \mathbb{Z} για ένα σταθεροποιημένο μη μηδενικό n\in \mathbb{Z}),

    x\equiv_n y \ \ \Longleftrightarrow\ \ n\mid x-y.

    Δείξαμε ότι 

    \mathbb{Z} /\equiv_n\ \ =\ \{[0],[1],\ldots,[n-1]\}

    και ότι όλες οι παραπάνω κλάσεις είναι ανά δύο διαφορετικές.

    Είδαμε ότι οι κλάσεις ισοδυναμίας ορίζουν μία διαμέριση του συνόλου και αντίστροφα: κάθε διαμέριση του συνόλου  Α ορίζει μία σχέση ισοδυναμίας.

    Ορίσαμε την έννοια της σχέσης διάταξης και είδαμε παραδείγματα.

    Σε ένα σύνολο A, στο οποίο έχουμε ορίσει μία σχέση διάταξης, ορίσαμε την έννοια του μεγιστικού και την έννοια του μέγιστου στοιχείου. Είδαμε ότι μπορεί να υπάρχουν πολλά μεγιστικά στοιχεία. Όταν υπάρχει μέγιστο στοιχείο, αυτό είναι μοναδικό και είναι το μοναδικό μεγιστικό στοιχείο του A (πάντα ως προς τη σχέση διάταξης την οποία μελατάμε).

    Ορίσαμε την έννοια της συνάρτησης f : A \rightarrow B, με πεδίο ορισμού A και πεδίο τιμών B. 

    Ορίσαμε πότε μία συνάρτηση είναι ένα-προς-ένα και πότε είναι επί.

    Ορίσαμε τη σύθεση συναρτήσεων και την έννοια της αντίστροφης συνάρτησης, μίας δεδομένης συνάρτησης f : A\rightarrow B.

    Διαβάστε: σελ. 24-31 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.

    Διαβάστε: σελ. 32-49 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    2 Μαρτίου - 8 Μαρτίου

    Μελετήσαμε τις έννοιες του αριστερού/δεξιού αντιστρόφου μίας συνάρτησης f : A\rightarrow B.

    Δείξαμε ότι

    • η συνάρτηση f έχει αριστερό αντίστροφο αν και μόνο αν είναι 1-1. 
    • η συνάρτηση f έχει δεξιό αντίστροφο αν και μόνο αν είναι επί.

     

    Δείξαμε ότι η f είναι αντιστρέψιμη αν και μόνο αν είναι 1-1 και επί. Σε αυτή την περίπτωση η αντίστροφη συνάρτηση είναι μοναδική και συμβολίζεται f^{-1}. 

    Αν X\subseteq A και Y\subseteq B, ορίσαμε: 

    • Την εικόνα του X, f(X) = \{f(x) : x\in X\}.
    • Την αντίστροφη εικόνα του Y, f^{-1}(Y) = \{x\in A : f(x) \in Y\}.

     

    Ονομάσαμε την εικόνα του συνόλου A, εικόνα της συνάρτησης f και τη συμβολίσαμε με \mathrm{im}(f). Με άλλα λόγια, \mathrm{im}(f) = f(A).

    Διαβάστε: σελ. 49-53 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    9 Μαρτίου - 15 Μαρτίου

     Για f:A \rightarrow B και X_1,X_2\subseteq A,\ Y_1, Y_2\subseteq B, αποδείξαμε κάποιες βασικές ιδιότητες για τα f(X_1 \cap X_2), f(X_1 \cup X_2), f^{-1}(Y_1\cap Y_2), f^{-1}(Y_1\cup Y_2).

    Μιλήσαμε για τον περιορισμό μίας συνάρτησης σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της.

    Μιλήσαμε για (διμελείς) πράξεις σε ένα σύνολο A. Ορίσαμε πότε μία πράξη ονομάζεται μεταθετική και πότε προσεταιριστική. Είδαμε παραδείγματα. 

     

    Διαβάστε: σελ. 54-58 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    16 Μαρτίου - 22 Μαρτίου

    Κάναμε μία εισαγωγή στην Προτασιακή Λογική. Μιλήσαμε για σύνταξη τύπων και δώσαμε έννοια στους συνδέσμους \lnot, \land, \lor, \Rightarrow, \Leftrightarrow, ορίζοντας τον πίνακα αληθείας για κάθε ένα. Είδαμε ότι με αυτούς τους ορισμούς, μπορεί να αποδοθεί μία τιμή αληθείας σε κάθε τύπο, όταν δοθούν τιμές αληθείας στις προτασιακές μεταβλητές: μπορούμε δηλαδή να φτιάξουμε τον πίνακα αληθείας του τύπου. 

    Είδαμε τους νόμους της προτασιακής λογικής, δηλαδή κάποιες βασικές λογικές ισοδυναμίες μεταξύ τύπων.

    Είδαμε ότι για κάθε δυνατή στήλη ενός πίνακα αληθείας υπάρχει τύπος με αυτές τις αποτιμήσεις και κατασκευάσαμε ένα τέτοιο τύπο (που είναι σε Κανονική Διαξευκτική Μορφή).

    Κάναμε μία εισαγωγή στην Κατηγορηματική Λογική. Είδαμε τους ποσοδείκτες \forall, \exists και είδαμε παραδείγματα τύπων. 

    Διαβάστε: σελ. 63-80 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    23 Μαρτίου - 29 Μαρτίου

    Μιλήσαμε για τη θεμελίωση των φυσικών αριθμών. Ειδικότερα, είδαμε τα αξιώματα του Peano και τους αναδρομικούς ορισμούς των πράξεων της πρόσθεση και του πολλαπλασιασμού. Αποδείξαμε κάποιες βασικές ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετικότητα, προσετεριστικότητα) χρησιμοποιώντας την Αρχή της Επαγωγής. Ορίσαμε την σχέση \leq και είδαμε ότι είναι σχέση ολικής διάταξης στο \mathbb{N}_0.

    Διαβάστε: σελ. 88-97 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    30 Μαρτίου - 5 Απριλίου

    Μιλήσαμε για την Αρχή της Επαγωγής και είδαμε κάποια παραδείγματα.

    Είδαμε την Ισχυρή Επαγωγή και δείξαμε ότι ως αποδεικτική μέθοδος (αν και συχνά βολική) δεν είναι πραγματικά ισχυρότερη από την "απλή" επαγωγή. Ειδικότερα, δείξαμε ότι προκύπτει από την Αρχή της Επαγωγής.

    Είδαμε την Αρχή του Ελαχίστου. Την αποδείξαμε με επαγωγή (ισχυρή). Είδαμε κάποια παραδείγματα.

    Ορίσαμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο ακεραίων και δείξαμε ότι υπάρχει, αρκεί να μην είναι και οι δύο ίσοι με το 0. Δείξαμε ότι για a,b\in \mathbb{Z} με a\neq 0, το σύνολο 

    \left\{a x + b y : x,y \in \mathbb{Z}\right\} \cap \mathbb{N}

    έχει ελάχιστο στοιχείο, το οποίο είναι μεγιστος κοινός διαιρέτης των a,b. Αν d είναι ένας μ.κ.δ. των a,b, τότε και το -d είναι επίσης ένας μ.κ.δ. Για να κάνουμε το μ.κ.δ. μοναδικό, παίρνουμε τον θετικό από τους δύο αριθμούς. Η απόδειξη αυτή μας δίνει επιπλέον, ότι ο

    \text{μ.κ.δ.}(a, b) = s a + t b,\ \ \mbox{ για κάποιους } s,t \in \mathbb{Z}.

    Μιλήσαμε για πρώτους αριθμούς και δείξαμε ότι είναι άπειροι. Δείξαμε ότι κάθε αριθμός γράφεται ως γινόμενο πρώτων.

    Διαβάστε: σελ. 97-98 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.

    Διαβάστε: σελ. 98-101 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    6 Απριλίου - 12 Απριλίου

    Δείξαμε ότι κάθε φυσικός αριθμός n > 1 γράφεται ως γινόμενο πρώτων με μοναδικό κατ' ουσία τρόπο (εάν δηλαδή αλλάξουμε τη σειρά που γράφουμε τους πρώτους στο γινόμενο δεν θεωρείται διαφορετική γραφή). 

    Είδαμε ξανά το σύνολο \mathbb{Z}_n και τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού κλάσεων. Δείξαμε ότι οι πράξεις είναι αντιμεταθετικές, προσεταιριστικές, ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα. Είδαμε ότι αν ο n είναι πρώτος, τότε για κάθε κλάση \bar{a}\neq \bar{0} υπάρχει κλάση \bar{b} τέτοια ώστε \bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}. Αυτό δεν ισχύει όταν έχουμε κλάσεις modulo κάποιο σύνθετο αριθμό n.

    Κάναμε μία εισαγωγή στη συνδυαστική. Ορίσαμε πότε ένα σύνολο είναι πεπερασμένο και ποιό είναι το πλήθος των στοιχείων του. Είδαμε την Αρχή του Αθροίσματος, την Αρχή του Γινομένου και την Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού.  

    Διαβάστε: σελ. 101-102 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.

    Διαβάστε: σελ. 109-112 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    13 Απριλίου - 19 Απριλίου

    ΔΙΑΚΟΠΕΣ ΠΑΣΧΑ

  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    20 Απριλίου - 26 Απριλίου

    ΔΙΑΚΟΠΕΣ ΠΑΣΧΑ

  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    27 Απριλίου - 3 Μαΐου

    Ορίσαμε τους δυωνυμικούς συντελεστές \binom{n}{k} για n\geq 1 και 0\leq k\leq n, δείξαμε ότι ικανοποιούν τις σχέσεις

    \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1, \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k},\ \ 1\leq k\leq n-1.

    Δείξαμε το δυωνυμικό θεώτημα:

    (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}.

    Δείξαμε ότι το πλήθος των υποσυνόλων k στοιχείων του συνόλου \{1,2,\ldots,n\} είναι επίσης ίσο με \binom{n}{k}.

    Αποδείξαμε ότι \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\ (n-k)!}

    Δείξαμε ότι το πλήθος των μεταθέσεων (διατάξεων) n αντικειμένων είναι ίσο με n!

    Είδαμε παραδείγματα.

    Δείξαμε ότι το πλήθος ακέραιων λύσεων της εξίσωσης

    x_1 + \cdots + x_m = n, \ \ x_i \geq 0

    είναι \binom{n+m-1}{m-1} = \binom{n+m-1}{n}.

    Είδαμε τη γενίκευση του δυωνυμικού θεωρήματος:

    (x_1+\cdots+x_m)^n = \sum_{i_1+\cdots+i_m=n} \binom{n}{i_1,\ldots,i_m} x_1^{i_1}\cdots x_m^{i_m}.

    Ο συντελεστής

    \binom{n}{i_1,\ldots,i_m} = \frac{n!}{i_1!\cdots i_m!}

    εκφράζει το πλήθος των διατάξεων m ομάδων όμοιων αντικειμένων, όπου η ομάδα j έχει i_j (όμοια μεταξύ τους) αντικείμενα. Ισοδύναμα, είναι το πλήθος των αναγραμματισμών μίας λέξης m διακεκριμένων γραμμάτων, όπου το 1ο γράμμα εμφανίζεται i_1 φορές, το 2ο γράμμα i_2 φορές κλπ και i_1+\cdots+i_m=n.

    Διαβάστε: σελ. 112-120 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    4 Μαΐου - 10 Μαΐου

    Μιλήσαμε για πληθαρίθμους άπειρων συνόλων. Ορίσαμε δύο σύνολα A,B έχουν τον ίδιο πληθάριθμο, όταν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση f : A \rightarrow B. Είδαμε παραδείγματα. Οναμάσαμε ένα σύνολο αριθμήσιμο, αν είναι πεπερασμένο ή αν έχει τον ίδιο πληθάριθμο με το \mathbb{N}. Είδαμε παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων.

    Διαβάστε: σελ. 121-125 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    11 Μαΐου - 17 Μαΐου

    Δείξαμε ότι το δυναμοσύνολο \mathcal{P}(A) ενός συνόλου A έχει αυστηρά μεγαλύτερο πληθάριθμο από το σύνολο A. Δηλαδή, υπάρχει απεικόνιση f: A\rightarrow \mathcal{P}(A) η οποία είναι 1-1, αλλά δεν υπάρχει απεικόνιση f : A \rightarrow \mathcal{P}(A) η οποία είναι επί. Στη συνέχεια είδαμε ότι ο πληθάριθμος του συνόλου \mathbb{R} των πραγματικών αριθμών είναι ίσος με τον πληθάριθμο του δυναμοσυνόλου \mathcal{P}(\mathbb{N}) των φυσικών. Αυτό και η παραπάνω πρόταση μας δίνουν σαν συμπέρασμα ότι ο πληθάριθμος των πραγματικών αριθμών είναι αυστηρά μεγαλύτερος από τον πληθάριθμο των φυσικών: οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι αριθμήσιμο σύνολο. Η ίδια απόδειξη μπορεί να γίνει και με το διαγώνιο επιχείρημα του Cantor, που επίσης είδαμε.

    Διαβάστε: σελ. 125-129 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    18 Μαΐου - 24 Μαΐου

    Λύσαμε ασκήσεις.

  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    25 Μαΐου - 31 Μαΐου

    Την Τετάρτη 28 Μαΐου, 11:00-14:00 θα γίνει ένα τελευταίο φροντιστήριο, στην αίθουσα Α212, για απορίες, από τον κύριο Σταυρακάκη. Σε αυτό το φροντιστήριο θα συζητήσετε (κάποιες) από τις επαναληπτικές ασκήσεις.