Section outline

  • Ορίσαμε τους δυωνυμικούς συντελεστές \(\binom{n}{k}\) για \(n\geq 1\) και \(0\leq k\leq n\), δείξαμε ότι ικανοποιούν τις σχέσεις

    \[ \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1, \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k},\ \ 1\leq k\leq n-1.\]

    Δείξαμε το δυωνυμικό θεώτημα:

    \[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}.\]

    Δείξαμε ότι το πλήθος των υποσυνόλων \(k\) στοιχείων του συνόλου \(\{1,2,\ldots,n\}\) είναι επίσης ίσο με \(\binom{n}{k}\).

    Αποδείξαμε ότι \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\ (n-k)!}\)

    Δείξαμε ότι το πλήθος των μεταθέσεων (διατάξεων) \(n\) αντικειμένων είναι ίσο με \(n!\)

    Είδαμε παραδείγματα.

    Δείξαμε ότι το πλήθος ακέραιων λύσεων της εξίσωσης

    \[ x_1 + \cdots + x_m = n, \ \ x_i \geq 0 \]

    είναι \( \binom{n+m-1}{m-1} = \binom{n+m-1}{n}\).

    Είδαμε τη γενίκευση του δυωνυμικού θεωρήματος:

    \[ (x_1+\cdots+x_m)^n = \sum_{i_1+\cdots+i_m=n} \binom{n}{i_1,\ldots,i_m} x_1^{i_1}\cdots x_m^{i_m}.\]

    Ο συντελεστής

    \[ \binom{n}{i_1,\ldots,i_m} = \frac{n!}{i_1!\cdots i_m!}\]

    εκφράζει το πλήθος των διατάξεων \(m\) ομάδων όμοιων αντικειμένων, όπου η ομάδα \(j\) έχει \(i_j\) (όμοια μεταξύ τους) αντικείμενα. Ισοδύναμα, είναι το πλήθος των αναγραμματισμών μίας λέξης \(m\) διακεκριμένων γραμμάτων, όπου το 1ο γράμμα εμφανίζεται \(i_1\) φορές, το 2ο γράμμα \(i_2\) φορές κλπ και \(i_1+\cdots+i_m=n\).

    Διαβάστε: σελ. 112-120 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.