Section outline

  • Δείξαμε ότι το δυναμοσύνολο \(\mathcal{P}(A)\) ενός συνόλου \(A\) έχει αυστηρά μεγαλύτερο πληθάριθμο από το σύνολο \(A\). Δηλαδή, υπάρχει απεικόνιση \(f: A\rightarrow \mathcal{P}(A)\) η οποία είναι 1-1, αλλά δεν υπάρχει απεικόνιση \(f : A \rightarrow \mathcal{P}(A)\) η οποία είναι επί. Στη συνέχεια είδαμε ότι ο πληθάριθμος του συνόλου \(\mathbb{R}\) των πραγματικών αριθμών είναι ίσος με τον πληθάριθμο του δυναμοσυνόλου \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) των φυσικών. Αυτό και η παραπάνω πρόταση μας δίνουν σαν συμπέρασμα ότι ο πληθάριθμος των πραγματικών αριθμών είναι αυστηρά μεγαλύτερος από τον πληθάριθμο των φυσικών: οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι αριθμήσιμο σύνολο. Η ίδια απόδειξη μπορεί να γίνει και με το διαγώνιο επιχείρημα του Cantor, που επίσης είδαμε.

    Διαβάστε: σελ. 125-129 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη