Μάθημα: ΒΙΟ101.1 - Εισαγωγή στα Μαθηματικά / Γραμμική Άλγεβρα

Section outline

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΒΙΟ101 - Εισαγωγή στα Μαθηματικά / Γραμμική Άλγεβρα
ΠΜΣ Βιοπληροφορική
Μονοτμηματικό
Έδρα	Τμήμα Iατρικής Σχολή Επιστημών Υγείας Πανεπιστημίου Κρήτης
ΦΕΚ	598/7.3.2016 τ.Β’
Διευθυντής Σπουδών	Νεκτάριος Ταβερναράκης Καθηγητής Μοριακής Βιολογίας - Βιολογίας Συστημάτων
Αναπληρωτής Διευθυντής Σπουδών	Ιωάννης Ηλιόπουλος Επικουρος Καθηγητής Μοριακής Βιολογίας - Γονιδιωματικής Βιοπληροφορικής
Υπεύθυνος Μαθήματος:
Διδάσκοντες Μαθήματος:	Θεόδουλος Γαρεφαλάκης, Μαρία Λουκάκη
Γραμματεία ΠΜΣ	2810.39.4615 2810.39.4868 2810.39.4526
FAX	2810.39.4569
E-Mail	postgradsecr@med.uoc.gr
website	http://msc_bioinformatics.med.uoc.gr/

Γενικές Πληροφορίες

Διδάσκοντες

Θεόδουλος Γαρεφαλάκης (γραφείο Γ216, email: tgaref@uoc.gr)

Μαρία Λουκάκη (γραφείο Γ315, email: mloukaki@uoc.gr)

Ώρες Μαθήματος

Δευτέρα 9:00 - 11:00 (αίθουσα Β212, κτήριο ΤΜΕΜ)

Τετάρτη 9:00 - 11:00 (αίθουσα Β212, κτήριο ΤΜΕΜ)

Περιγραφή Μαθήματος

Στο μάθημα θα δούμε βασικές έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας. Θα επικεντρωθούμε στους χώρους $\mathbb{R}^n$ και $\mathbb{C}^n$ . Μπορείτε να βρείτε την ύλη του μαθήματος εδώ.

Αξιολόγηση

Βιβλιογραφία

Mια εισαγωγή στην Γραμμική Άλγεβρα, A. Morris
Μια εισαγωγή στην Γραμμική Άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες, Χαραλάμπους, Φωτιάδης
Σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη
Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές, G. Strang
Μία εισαγωγή στην Γραμμική Άλγεβρα, Βάρσος, Δεριζιώτης, Εμμανουήλ, Μαλιάκας, Μελάς, Ταλλέλη
Γραμμική Άλγεβρα, Θεοχάρη-Αποστολίδη, Βαβατσούλας, Χαραλάμπους

Επιλογή δραστηριότητας Ομάδα Συζητήσεων

Ομάδα Συζητήσεων Φόρουμ
Επιλογή δραστηριότητας Φυλλάδια Ασκήσεων

Φυλλάδια Ασκήσεων Φάκελος

Οι φοιτητές πρέπει να

Επισήμανση ως ολοκληρωμένου
Επιλογή δραστηριότητας Final 2024-2025

Final 2024-2025 Αρχείο

Οι φοιτητές πρέπει να

Επισήμανση ως ολοκληρωμένου

Επιλογή ενότητας 29 Σεπτεμβρίου - 5 Οκτωβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
29 Σεπτεμβρίου - 5 Οκτωβρίου
Ορίσαμε το σύνολο $\mathbb{R}^n$ των $n$ -άδων πραγματικών αριθμών και ορίσαμε δύο πράξεις:

πρόσθεση δύο διανυσμάτων: $(x_1,\ldots, x_n) + (y_1,\ldots, y_n) = (x_1+y_1,\ldots, x_n+y_n)$

πολλαπλασιασμό αριθμού με διάνυσμα: $\lambda \cdot (x_1,\ldots, x_n) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)$

Είδαμε τις βασικές ιδιότητες που ικανοποιούν οι πράξεις αυτές.

Είδαμε το σύνολο των $m\times n$ ( $m$ επί $n$ ) πινάκων $\mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb{R})$ . Ένας $m\times n$ πίνακας είναι μία διάταξη αριθμών σε $m$ γραμμές και $n$ στήλες.
Συνήθως θα περιγράφουμε ένα τέτοιο πίνακα $A$ δίνοντας τα στοιχεία του $a_{ij}$ για $i=1,\ldots,m$ , $j=1,\ldots,n$ .
Oρίσαμε δύο πράξεις αντίστοιχες με αυτές του $\mathbb{R}^n$ :

πρόσθεση δύο πινάκων: $\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) + \left(\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ a_{21} & b_{22} &\cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} +b_{22} &\cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{array} \right)$

πολλαπλασιασμό αριθμού με πίνακα: $\lambda \cdot \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} &\cdots & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{array} \right)$

Είδαμε ότι οι πράξεις της πρόσθεσης πινάκων και του πολλαπλασιασμού αριθμού με πίνακα ικανοποιούν τις ίδιες ιδιότητες με τις αντίστοιχες πράξεις του $\mathbb{R}^n$ .

Ορίσαμε τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Ειδικότερα, όταν $A\in \mathrm{Mat}_{m\times p}(\mathbb{R})$ και $B\in \mathrm{Mat}_{p\times n}(\mathbb{R})$ , (δηλαδή το πλήθος στηλών του $A$ είναι ίσο με το πλήθος γραμμών του $B$ ) τότε ορίζεται το γινόμενο $A\cdot B$ , το οποίο είναι ένας $m\times n$ πίνακας. To $i,j$ στοιχείο του πίνακα $AB$ είναι το

$(AB)_{ij} = \sum_{k = 1}^p A_{ik} B_{kj}.$

Ορίσαμε τις έννοιες του άνω (κάτω) τριγωνικού πίνακα, του διαγώνιου πίνακα, του συμμετρικού πίνακα.

Είδαμε βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πινάκων. Ορίσαμε πότε ένας τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιμος.

Αρχίσαμε να μελετάμε την έννοια της αντιστρεψιμότητας πινάκων. Είπαμε, χωρίς να το δικαιολογήσουμε, ότι για να είναι ένας πίνακας $A\in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{R})$ αντιστρέψιμος αρκεί να υπάρχει πίνακας $A'\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{R})$ τέτοιος ώστε $A A' = I$ . Αν συμβαίνει αυτό, τότε είναι βέβαιο ότι θα ισχύει και $A' A = I$ και άρα ο $A$ είναι αντιστρέψιμος. Δείξαμε ότι αν δύο πίνακες $A, B$ είναι αντιστρέψιμοι τότε το γινόμενο $AB$ είναι αντιστρέψιμος πίνακας. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ . Γενικότερα, αν οι πίνακες $A_1,\ldots, A_k\in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{R})$ είναι αντιστρέψιμοι, τότε και ο πίνακας $A_1\cdots A_k$ είναι αντιστρέψιμος και ισχύει $(A_1 A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1}\cdots A_2^{-1} A_2^{-1}.$

Αρχίσαμε να μιλάμε για απαλοιφή Gauss για τη λύση γραμμικών συστημάτων.

Διαβάστε: παρ. 2.1 από το βιβλίο [2].
- Επιλογή δραστηριότητας 1ο Φυλλάδιο Ασκήσεων
  
  1ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Αρχείο
  
  Οι φοιτητές πρέπει να
  
  Επισήμανση ως ολοκληρωμένου
Επιλογή ενότητας 6 Οκτωβρίου - 12 Οκτωβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
6 Οκτωβρίου - 12 Οκτωβρίου
Μιλήσαμε για επίλυση γραμμικών συστημάτων και περιγράψαμε τη μέθοδο της απαλοιφής Gauss. Ορίσαμε την τάξη ενός πίνακα ως το πλήθος των οδηγών στον κλιμακωτό πίνακα που καταλήγει η απαλοιφή Gauss. Ορίσαμε τις βασικές και τις ελεύθερες μεταβλητές και είδαμε πώς να περιγράφουμε τη γενική λύση του συστήματος συναρτήσει των ελεύθερων μεταβλητών.

Είδαμε ότι ένας $n\times n$ πίνακας $A$ είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν μετά την απαλοιφή Gauss προκύπτουν $n$ οδηγοί, δηλαδή ο πίνακας έχει τάξη ίση με $n$ .

Είδαμε τη μέθοδο Gauss-Jordan για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα, εφόσον υπάρχει.

Είδαμε την ανάλυση $LU$ του πίνακα $A$ .

Διαβάστε: παρ. 1.1, 1.2 από το βιβλίο [2].

Διαβάστε: παρ. 2.2 από το βιβλίο [2].
Επιλογή ενότητας 13 Οκτωβρίου - 19 Οκτωβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
13 Οκτωβρίου - 19 Οκτωβρίου
Είδαμε την έννοια του υπόχωρου ενός διανυσματικού χώρου. Ειδικότερα, δείξαμε ότι αν $U$ είναι ένα υποσύνολο του $\mathbb{R}^n$ , τότε είναι υπόχωρος του $\mathbb{R}^n$ αν

$U\neq \emptyset$ ,

Για κάθε $v, u\in U$ και κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ ισχύει $v+\lambda u\in U$ .

Είδαμε παραδείματα.

Αν $v_1,\ldots,v_m\in V$ τότε ορίσαμε τον υπόχωρο που παράγεται από τα $v_1,\ldots, v_m$ ως το σύνολο $\{\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_m v_m : \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in \mathbb{R}\}$ και το συμβολίσαμε με $\langle v_1,\ldots,v_m\rangle$ .

Είδαμε επίσης, ότι αν $A\in \mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb{R})$ τότε το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος $A x = 0$ είναι υπόχωρος του $\mathbb{R}^n$ .

Ορίσαμε πότε ένα σύνολο διανυσμάτων $\{v_1,\ldots,v_m\}$ είναι γραμμικώς εξαρτημένο/ανεξάρτητο και είδαμε παραδείγματα. Είδαμε πώς μπορούμε να εξετάζουμε (αλγοριθμικά) εάν ένα δεδομένο σύνολο είναι εξαρτημένο/ανεξάρτητο. Εάν $V$ είναι ένας υπόχωρος του $\mathbb{R}^n$ και $B$ ένα σύνολο διανυσμάτων του, λέμε ότι το $B$ είναι βάση του $V$ εάν:

Παράγει τον $V$ , δηλαδή $V = \langle B\rangle$ και

Είναι γραμμικώς ανεξάρτητο.

Είδαμε ότι η απαίτηση της γραμμικής ανεξαρτησίας του $B$ εξασφαλίζει ότι κανένα γνήσιο υποσύνολο του $B$ δεν παράγει τον $V$ . Με άλλα λόγια κάθε διάνυσμα του $B$ είναι απαραίτητο.

Διαβάστε: παρ. 3.2 από το βιβλίο [2].

Διαβάστε: παρ. 3.3 έως τη σελ. 89 από το βιβλίο [2].
- Επιλογή δραστηριότητας 2ο Φυλλάδιο Ασκήσεων
  
  2ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Αρχείο
  
  Οι φοιτητές πρέπει να
  
  Επισήμανση ως ολοκληρωμένου
Επιλογή ενότητας 20 Οκτωβρίου - 26 Οκτωβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
20 Οκτωβρίου - 26 Οκτωβρίου
Είδαμε παραδείγματα βάσεων διανυσματικών χώρων. Για ένα δεδομένο πίνακα $A\in\mathrm{Mat}_{m\times n}(A)$ , είδαμε πώς μπορούμε να υπολογίζουμε μία βάση του μηδενόχωρου του, $\mathcal{N}(A)$ και μία βάση του χώρου στηλών του, $\mathcal{R}(A)$ .

Είδαμε ότι αν $S$ είναι ένα γραμμικώς ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου $V$ , και $Τ$ ένα σύνολο διανυσμάτων που παράγει τον $V$ (δηλαδή $\langle T\rangle = V$ ), τότε $|S|\leq |T|$ και ότι το σύνολο $S$ μπορεί να συμπληρωθεί σε βάση του $V$ . Χρησιμοποιώντας αυτό, δείξαμε ότι δύο οποιεσδήποτε βάσεις του $V$ περιέχουν το ίδιο πλήθος διανυσμάτων. Αυτό το πλήθος ονομάζεται διάσταση του χώρου. Για παράδειγμα, η διάσταστη του $\mathcal{R}^n$ είναι ίση με $n$ , αφού η κανονική του βάση, $\{e_1,\ldots, e_n\}$ , περιέχει $n$ διανύσματα.

Αν $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ και $r = \mathrm{rank}(A)$ είναι η τάξη του πίνακα $Α$ (δηλαδή το πλήθος των οδηγών στον κλιμακωτό πίνακα που προκύπτει από την απαλοιφή Gauss), τότε $\dim \mathcal{R}(A) = r$ και $\dim \mathcal{N}(A) = n - r$ . Βλέπουμε ότι πάντα ισχύει $\dim \mathcal{N}(A) + \dim \mathcal{R}(A) = n$ . Είπαμε επίσης, ότι $\dim \mathcal{R}(A^{\top}) = \dim \mathcal{R}(A)$ , δηλαδή η διάσταση του χώρου στηλών και η διάσταση του χώρου γραμμών ενός πίνακα είναι ίσες.

Ορίσαμε την έννοια της γραμμικής απεικόνισης και είδαμε παραδείγματα.

Διαβάστε: παρ. 3.3 από το βιβλίο [2].

Διαβάστε: παρ. 3.4, 4.1 έως τη σελ. 108 από το βιβλίο [2].
Επιλογή ενότητας 27 Οκτωβρίου - 2 Νοεμβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
27 Οκτωβρίου - 2 Νοεμβρίου
Είδαμε ότι για κάθε γραμμική απεικόνιση $f : \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ , υπάρχει ένας (μοναδικός) πίνακας $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ , τέτοιος ώστε $f(v) = A\cdot v$ για κάθε $v\in \mathbb{R}^n$ . Αυτός ο πίνακας ονομάζεται πίνακας της $f$ και τον συμβολίζουμε με $[f]$ .

Είδαμε ότι μπορούμε να γενικεύσουμε τον παραπάνω ορισμό ως εξής: αν θεωρήσουμε μία βάση $\mathcal{A}=\{v_1,\ldots,v_n\}$ του $\mathbb{R}^n$ και μία βάση $\mathcal{B}=\{w_1,\ldots,w_m\}$ του $\mathbb{R}^m$ , τότε

$f(v_j) = a_{1j} w_1 + \cdots + a_{mj} w_m,\ \ \text{ για }\ \ 1\leq j\leq n.$

Ο πίνακας $A = (a_{ij})\in \mathbb{R}^{m\times n}$ ονομάζεται πίνακας της $f$ ως προς τις βάσεις $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ και τον συμβολίζουμε με $[f]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}$ . Ο πίνακας της $f$ είναι ο πίνακας ως προς τις κανονικές βάσεις, $\mathcal{E}, \mathcal{E}'$ , των $\mathbb{R}^n$ και $\mathbb{R}^m$ αντίστοιχα.

Διαβάστε: παρ. 4.1 από το βιβλίο [2].
- Επιλογή δραστηριότητας 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων
  
  3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Αρχείο
  
  Οι φοιτητές πρέπει να
  
  Επισήμανση ως ολοκληρωμένου
Επιλογή ενότητας 3 Νοεμβρίου - 9 Νοεμβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
3 Νοεμβρίου - 9 Νοεμβρίου
Είδαμε τη σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, η οποία είναι επίσης γραμμική απεικόνιση. Ειδικότερα, θεωρούμε τους χώρους $\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m, \mathbb{R}^k$ και τις βάσεις $\mathcal{A} ,\mathcal{B}, \mathcal{C}$ αντίστοιχα. Είδαμε ότι αν $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ και $g : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k$ είναι γραμμικές απεικονίσεις, τότε η σύνθεση τους $g\circ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$ με τύπο $g\circ f(x) = g(f(x))$ είναι γραμμική και
$[g\circ f]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{C}} = [g]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \cdot [f]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}.$

Αν $\mathrm{id}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ είναι η ταυτοτική απεικόνιση, $\mathrm{id}(v) = v$ και $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ είναι δύο βάσεις του $\mathbb{R}^n$ , τότε ο πίνακας $[\mathrm{id}]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}$ είναι ο πίνακας αλλαγής βάσης από τη βάση $\mathcal{A}$ στην βάση $\mathcal{B}$ .

Ορίσαμε τον πυρήνα και την εικόνα μίας γραμμικής απεικόνισης. Αν $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ και $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ είναι ο πίνακας της $f$ , δείξαμε ότι $\mathrm{ker}(f) = \mathcal{N}(A)$ και $\mathrm{im}(f) = \mathcal{R}(A)$ . Είδαμε παραδείγματα.

Ορίσαμε τις έννοιες του μονομορφισμού, του επιμορφισμού και του ισομορφισμού.

Διαβάστε: παρ. 4.3 από το βιβλίο [2].

Διαβάστε: παρ. 4.2 από το βιβλίο [2].
Επιλογή ενότητας 10 Νοεμβρίου - 16 Νοεμβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
10 Νοεμβρίου - 16 Νοεμβρίου
Ορίσαμε την έννοια της ορίζουσας ενός $n \times n$ πίνακα $A= (a_{ij})$ . Είδαμε ότι η ορίζουσα μπορεί να αναπτυχθεί ως προς οποιαδήποτε γραμμή και ισούται με

$\det(A)= a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2} + \cdots +a_{in}C_{in}$

όπου η παραπάνω σχέση είναι το ανάπτυγμα ως προς την γραμμή $i$ και $C_{i,j}$ είναι ο i,j-συμπαράγοντας του Α. Δηλαδή $C_{ij}= (-1)^{i+j} \det(A_{ij})$ όπου $A_{i,j}$ είναι ο $(n-1) \times (n-1)$ πίνακας που προκύπτει από τον A αν διαγράψουμε την i-γραμμή και τη j-στήλη. Είδαμε βασικές ιδιότητες της ορίζουσας:

$\det(r_1,\ldots,r'_i + \lambda r''_i,\ldots,r_n)=\det(r_1,\ldots,r'_i,\ldots,r_n)+ \lambda\det(r_1,\ldots,r''_i,\ldots,r_n)$

Αν δύο γραμμές του Α είναι ίδιες τότε $\det(A) = 0$

$\det I_n$ =1

Αν εναλλάξουμε δύο γραμμές του πίνακα η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο

Αν ο πίνακας B προκύπτει από τον πίνακα A προσθέτοντας στην γραμμή i ένα πολλαπλάσιο της γραμμής j, τότε η ορίζουσα παραμένει ίδια, δηλαδή $\det(A)= \det(B)$

$\det(A B)=\det(A)\cdot \det(B)$

Αν ο πίνακας A είναι άνω (ή κάτω) τριγωνικός, τότε η ορίζουσα του είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου.

$\det(A^{\top})=\det(A)$ (και άρα μπορούμε να πάρουμε ανάπτυγμα ορίζουσας ως προς οποιαδήποτε στήλη και όχι μόνο γραμμή)

$\det(A) \neq 0$ αν και μόνο αν Α είναι αντιστρέψιμος.

Κάναμε παραδείγματα υπολογισμού οριζουσών και είδαμε σαν εφαρμογή ότι μπορούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο (αν υπάρχει) ενός πίνακα Α σαν

$A^{-1}= \frac{1}{ \det(A) }adjA$

όπου $adjA= (C_{ij})^{\top}$ είναι ο ανάστροφος του πίνακα συμπαραγόντων του Α.

Διαβάστε: παρ.2.3 από το [2]
- Επιλογή δραστηριότητας 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων
  
  4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Αρχείο
  
  Οι φοιτητές πρέπει να
  
  Επισήμανση ως ολοκληρωμένου
Επιλογή ενότητας 17 Νοεμβρίου - 23 Νοεμβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
17 Νοεμβρίου - 23 Νοεμβρίου
Την Δευτέρα δεν έγινε μάθημα (17/11) και την Τετάρτη μιλήσαμε για δύο ακόμη εφαρμογές των οριζουσών την Μέθοδο Cramer και τον υπολογισμό όγκου $n$-διάστατου παραλ/δου.

Επίσης ορίσαμε την έννοια ιδιοτιμής-ιδιοδιανύσματος για πίνακες $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ (και ισοδύναμα γραμμικές απεικονίσεις) σαν τον πραγματικό λ ώστε $Av= \lambda v$ για κάποιο μη μηδενικό διάνυσμα v. Το v ονομάζουμε ιδιοδιάνυσμα του Α ως προς την ιδιοτιμή λ.

Δείξαμε ότι το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ είναι υπόχωρος του $\mathbb{R}^n$ και ονομάζεται ιδιόχωρος του πίνακα. Επίσης ορίσαμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα. Τέλος είδαμε μεθοδολογία υπολογισμού ιδιοτιμών-ιδιοχώρων ενός πίνακα.

Διαβάστε παρ. 5.1 από το [2]
Επιλογή ενότητας 24 Νοεμβρίου - 30 Νοεμβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
24 Νοεμβρίου - 30 Νοεμβρίου
Αυτή την εβδομάδα συνεχίσαμε να μιλάμε για ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα και είδαμε πότε ένας πίνακας είναι διαγωνίσιμος. Μιλήσαμε για αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών και είδαμε ότι για κάθε πίνακα Α και για κάθε ιδιοτιμή του λ η αλγεβρική πολλαπλότητα της λ είναι μεγαλύτερη ή ίση της γεωμετρικής πολλαπλότητας της λ.

Είδαμε ότι ένας πίνακας $Α \in \mathbb{R}^{n \times n}$ διαγωνιοποιείται αν και μόνο αν o $\mathbb{R}^n$ έχει βάση ιδιοδιανυσμάτων του. Αν μάλιστα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α παραγοντοποιείται σαν γινόμενο πρωτοβάθμιων (με κάποιους εκθέτες) δηλ. $\chi_A(x)=(x−\lambda_1)^{n_1} \cdots (x−\lambda_k)^{n_k}$ , τότε ο πίνακας Α διαγωνιοποιείται αν και μόνο αν η αλγεβρική πολ/τα της κάθε ιδιοτιμής $\lambda_i$ ισούται με την αντίστοιχη γεωμετρική της πολ/τα.

Τέλος είδαμε αρκετά παραδείγματα.

Διαβάστε παρ. 5.1-5.3 από το [2] (δεν εχουμε προλάβει να τελειώσουμε όλο το 5.3).
- Επιλογή δραστηριότητας Φυλλάδιο 5
  
  Φυλλάδιο 5 Αρχείο
  
  Οι φοιτητές πρέπει να
  
  Επισήμανση ως ολοκληρωμένου
Επιλογή ενότητας 1 Δεκεμβρίου - 7 Δεκεμβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
1 Δεκεμβρίου - 7 Δεκεμβρίου
Την Δευτέρα είδαμε το Θεώρημα Cayley -Hamilton σύμφωνα με το οποίο κάθε πίνακας ικανοποιεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμό του. Επίσης μιλήσαμε για το ελάχιστο πολυώνυμο ενός πίνακα, που είναι πάντα ένας διαιρέτης του χαρακτηριστικού. Τέλος δείξαμε ότι ένας πίνακας με k διαφορετικές ιδιοτιμές $\lambda _1, \cdots , \lambda_k$ διαγωνιοποιείται αν και μόνο αν το ελάχιστο πολυώνυμό του είναι $(x-\lambda_1) \cdots (x-\lambda_k)$ . Δώσαμε παραδείγματα.

Την Τετάρτη, μιλήσαμε για χώρους με εσωτερικό γινόμενο και είδαμε βασικές ιδιότητές του. Επίσης δείξαμε πως υπολογίζουμε το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υποχώρου V του $\mathbb{R}^n$ ως προς το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο (dot product).

Διαβάστε το υπόλοιπο από την 5.3 και συνεχίστε με την 5.4 (την οποία δεν τελειώσαμε).
Επιλογή ενότητας 8 Δεκεμβρίου - 14 Δεκεμβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
8 Δεκεμβρίου - 14 Δεκεμβρίου
Μιλήσαμε για ορθογώνια συμπληρώματα υποχώρων καθώς και για την προβολή διανύσματος σε υπόχωρο. Επίσης είδαμε την μέθοδο ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt και την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Δόθηκαν πολλά παραδείγματα.
- Επιλογή δραστηριότητας Φυλλάδιο 6
  
  Φυλλάδιο 6 Αρχείο
  
  Οι φοιτητές πρέπει να
  
  Επισήμανση ως ολοκληρωμένου
Επιλογή ενότητας 15 Δεκεμβρίου - 21 Δεκεμβρίου

Σύμπτυξη Ανάπτυξη
15 Δεκεμβρίου - 21 Δεκεμβρίου
Λύσαμε ασκήσεις και παλιά θέματα εξετάσεων.