Section outline

  • Είδαμε παραδείγματα βάσεων διανυσματικών χώρων. Για ένα δεδομένο πίνακα A\in\mathrm{Mat}_{m\times n}(A), είδαμε πώς μπορούμε να υπολογίζουμε μία βάση του μηδενόχωρου του, \mathcal{N}(A) και μία βάση του χώρου στηλών του, \mathcal{R}(A).

    Είδαμε ότι αν S είναι ένα γραμμικώς ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου V, και Τ ένα σύνολο διανυσμάτων που παράγει τον V (δηλαδή \langle T\rangle = V), τότε |S|\leq |T| και ότι το σύνολο S μπορεί να συμπληρωθεί σε βάση του V. Χρησιμοποιώντας αυτό, δείξαμε ότι δύο οποιεσδήποτε βάσεις του V περιέχουν το ίδιο πλήθος διανυσμάτων. Αυτό το πλήθος ονομάζεται διάσταση του χώρου. Για παράδειγμα, η διάσταστη του \mathcal{R}^n είναι ίση με n, αφού η κανονική του βάση, \{e_1,\ldots, e_n\}, περιέχει n διανύσματα.

    Αν A\in \mathbb{R}^{m\times n} και r = \mathrm{rank}(A) είναι η τάξη του πίνακα Α (δηλαδή το πλήθος των οδηγών στον κλιμακωτό πίνακα που προκύπτει από την απαλοιφή Gauss), τότε \dim \mathcal{R}(A) = r και \dim \mathcal{N}(A) = n - r. Βλέπουμε ότι πάντα ισχύει \dim \mathcal{N}(A) + \dim \mathcal{R}(A) = n. Είπαμε επίσης, ότι \dim \mathcal{R}(A^{\top}) = \dim \mathcal{R}(A), δηλαδή η διάσταση του χώρου στηλών και η διάσταση του χώρου γραμμών ενός πίνακα είναι ίσες.

    Ορίσαμε την έννοια της γραμμικής απεικόνισης και είδαμε παραδείγματα.

    Διαβάστε: παρ. 3.3 από το βιβλίο [2]. 

    Διαβάστε: παρ. 3.4, 4.1 έως τη σελ. 108 από το βιβλίο [2].