Section outline

  • Είδαμε τη σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, η οποία είναι επίσης γραμμική απεικόνιση. Ειδικότερα, θεωρούμε τους χώρους \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m, \mathbb{R}^k και τις βάσεις \mathcal{A} ,\mathcal{B}, \mathcal{C} αντίστοιχα. Είδαμε ότι αν f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m και g : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k είναι γραμμικές απεικονίσεις, τότε η σύνθεση τους g\circ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k με τύπο g\circ f(x) = g(f(x)) είναι γραμμική και 
    [g\circ f]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{C}} = [g]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \cdot [f]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}.

    Αν \mathrm{id}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n είναι η ταυτοτική απεικόνιση, \mathrm{id}(v) = v και \mathcal{A}, \mathcal{B} είναι δύο βάσεις του \mathbb{R}^n, τότε ο πίνακας [\mathrm{id}]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} είναι ο πίνακας αλλαγής βάσης από τη βάση \mathcal{A} στην βάση \mathcal{B}. 

    Ορίσαμε τον πυρήνα και την εικόνα μίας γραμμικής απεικόνισης. Αν f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m και A\in \mathbb{R}^{m\times n} είναι ο πίνακας της f, δείξαμε ότι \mathrm{ker}(f) = \mathcal{N}(A) και \mathrm{im}(f) = \mathcal{R}(A). Είδαμε παραδείγματα.

    Ορίσαμε τις έννοιες του μονομορφισμού, του επιμορφισμού και του ισομορφισμού.

    Διαβάστε: παρ. 4.3 από το βιβλίο [2].

    Διαβάστε: παρ. 4.2 από το βιβλίο [2].