Section outline

  • Ορίσαμε το σύνολο \mathbb{R}^n των n-άδων πραγματικών αριθμών και ορίσαμε δύο πράξεις:

    1. πρόσθεση δύο διανυσμάτων: (x_1,\ldots, x_n) + (y_1,\ldots, y_n) = (x_1+y_1,\ldots, x_n+y_n)
    2. πολλαπλασιασμό αριθμού με διάνυσμα: \lambda \cdot  (x_1,\ldots, x_n) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)

    Είδαμε τις βασικές ιδιότητες που ικανοποιούν οι πράξεις αυτές.

    Είδαμε το σύνολο των m\times n (m επί n) πινάκων \mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb{R}). Ένας m\times n πίνακας είναι μία διάταξη αριθμών σε m γραμμές και n στήλες.
    Συνήθως θα περιγράφουμε ένα τέτοιο πίνακα A δίνοντας τα στοιχεία του a_{ij} για i=1,\ldots,m, j=1,\ldots,n. 
    Oρίσαμε δύο πράξεις αντίστοιχες με αυτές του \mathbb{R}^n:

    1. πρόσθεση δύο πινάκων: \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) + \left(\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ a_{21} & b_{22} &\cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} +b_{22} &\cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} + b_{m1}  & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{array} \right)
    2. πολλαπλασιασμό αριθμού με πίνακα: \lambda \cdot \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} &\cdots & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{array} \right)

    Είδαμε ότι οι πράξεις της πρόσθεσης πινάκων και του πολλαπλασιασμού αριθμού με πίνακα ικανοποιούν τις ίδιες ιδιότητες με τις αντίστοιχες πράξεις του \mathbb{R}^n.

    Ορίσαμε τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Ειδικότερα, όταν A\in \mathrm{Mat}_{m\times p}(\mathbb{R}) και B\in \mathrm{Mat}_{p\times n}(\mathbb{R}), (δηλαδή το πλήθος στηλών του  A είναι ίσο με το πλήθος γραμμών του B) τότε ορίζεται το γινόμενο A\cdot B, το οποίο είναι ένας m\times n πίνακας. To i,j στοιχείο του πίνακα AB είναι το

    (AB)_{ij} = \sum_{k = 1}^p A_{ik} B_{kj}.

    Ορίσαμε τις έννοιες του άνω (κάτω) τριγωνικού πίνακα, του διαγώνιου πίνακα, του συμμετρικού πίνακα. 

    Είδαμε βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πινάκων. Ορίσαμε πότε ένας τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιμος.

    Αρχίσαμε να μελετάμε την έννοια της αντιστρεψιμότητας πινάκων. Είπαμε, χωρίς να το δικαιολογήσουμε, ότι για να είναι ένας πίνακας A\in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{R}) αντιστρέψιμος αρκεί να υπάρχει πίνακας A'\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{R}) τέτοιος ώστε A A' = I. Αν συμβαίνει αυτό, τότε είναι βέβαιο ότι θα ισχύει και A' A = I και άρα ο A είναι αντιστρέψιμος. Δείξαμε ότι αν δύο πίνακες A, B είναι αντιστρέψιμοι τότε το γινόμενο AB είναι αντιστρέψιμος πίνακας. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}. Γενικότερα, αν οι πίνακες A_1,\ldots, A_k\in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{R}) είναι αντιστρέψιμοι, τότε και ο πίνακας A_1\cdots A_k είναι αντιστρέψιμος και ισχύει (A_1 A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1}\cdots A_2^{-1} A_2^{-1}.

    Αρχίσαμε να μιλάμε για απαλοιφή Gauss για τη λύση γραμμικών συστημάτων.

    Διαβάστε: παρ. 2.1 από το βιβλίο [2].