ΒΙΟ101.1 - Εισαγωγή στα Μαθηματικά / Γραμμική Άλγεβρα
Section outline
-
ΒΙΟ101 - Εισαγωγή στα Μαθηματικά / Γραμμική Άλγεβρα ΠΜΣ Βιοπληροφορική Μονοτμηματικό Έδρα Τμήμα Iατρικής Σχολή Επιστημών Υγείας Πανεπιστημίου Κρήτης ΦΕΚ 598/7.3.2016 τ.Β’ Διευθυντής Σπουδών Νεκτάριος Ταβερναράκης
Καθηγητής Μοριακής Βιολογίας - Βιολογίας ΣυστημάτωνΑναπληρωτής
Διευθυντής ΣπουδώνΙωάννης Ηλιόπουλος
Επικουρος Καθηγητής
Μοριακής Βιολογίας - Γονιδιωματικής ΒιοπληροφορικήςΥπεύθυνος Μαθήματος: Διδάσκοντες Μαθήματος: Θεόδουλος Γαρεφαλάκης Γραμματεία ΠΜΣ 2810.39.4615
2810.39.4868
2810.39.4526FAX 2810.39.4569 E-Mail postgradsecr@med.uoc.gr website http://msc_bioinformatics.med.uoc.gr/ Γενικές Πληροφορίες
Διδάσκων Θεόδουλος Γαρεφαλάκης (γραφείο Γ216, email: tgaref@uoc.gr) Ώρες Μαθήματος Δευτέρα 11:00 - 13:00 (αίθουσα A208, κτήριο ΤΜΕΜ)
Πέμπτη 9:00 - 11:00 (αίθουσα Α208, κτήριο ΤΜΕΜ)
Περιγραφή Μαθήματος
Στο μάθημα θα δούμε βασικές έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας.
Θα επικεντρωθούμε στους χώρους: \(\mathbb{R}^n\) και \(\mathbb{C}^n\).
Μπορείτε να βρείτε την ύλη του μαθήματος εδώ...Αξιολόγηση
Θα γίνει μία πρόοδος και μία τελική εξέταση. Ο τελικός βαθμός θα υπολογιστεί ως
\[ T = \mathrm{max} \{ 0.5 \cdot \Pi + 0.5 \cdot E, E \}, \]
όπου \(\Pi\) είναι ο βαθμός της προόδου και \(E\) είναι ο βαθμός της τελικής εξέτασης.
Βιβλιογραφία
- Mια εισαγωγή στην Γραμμική Άλγεβρα, A. Morris
- Μια εισαγωγή στην Γραμμική Άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες, Χαραλάμπους, Φωτιάδης
- Σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη
- Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές, G. Strang
- Μία εισαγωγή στην Γραμμική Άλγεβρα, Βάρσος, Δεριζιώτης, Εμμανουήλ, Μαλιάκας, Μελάς, Ταλλέλη
- Γραμμική Άλγεβρα, Θεοχάρη-Αποστολίδη, Βαβατσούλας, Χαραλάμπους
Η πρόοδος θα γίνει την Πέμπτη 12 Νοεμβρίου την ώρα του μαθήματος.
-
Ορίσαμε το σύνολο \(\mathbb{R}^n\) των \(n\)-άδων πραγματικών αριθμών και ορίσαμε δύο πράξεις:
- πρόσθεση δύο διανυσμάτων: \( (x_1,\ldots, x_n) + (y_1,\ldots, y_n) = (x_1+y_1,\ldots, x_n+y_n)\)
- πολλαπλασιασμό αριθμού με διάνυσμα: \( \lambda \cdot (x_1,\ldots, x_n) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)\)
Είδαμε τις βασικές ιδιότητες που ικανοποιούν οι πράξεις αυτές.
Είδαμε το σύνολο των \(m\times n\) (\(m\) επί \(n\)) πινάκων \(\mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb{R})\). Ένας \(m\times n\) πίνακας είναι μία διάταξη αριθμών σε \(m\) γραμμές και \(n\) στήλες.
Συνήθως θα περιγράφουμε ένα τέτοιο πίνακα \(A\) δίνοντας τα στοιχεία του \(a_{ij}\) για \(i=1,\ldots,m\), \(j=1,\ldots,n\).
Oρίσαμε δύο πράξεις αντίστοιχες με αυτές του \(\mathbb{R}^n\):- πρόσθεση δύο πινάκων: \[ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) + \left(\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ a_{21} & b_{22} &\cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} +b_{22} &\cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{array} \right) \]
- πολλαπλασιασμό αριθμού με πίνακα: \[ \lambda \cdot \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} &\cdots & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{array} \right) \]
Είδαμε ότι οι πράξεις της πρόσθεσης πινάκων και του πολλαπλασιασμού αριθμού με πίνακα ικανοποιούν τις ίδιες ιδιότητες με τις αντίστοιχες πράξεις του \(\mathbb{R}^n\).
Ορίσαμε τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Ειδικότερα, όταν \(A\in \mathrm{Mat}_{m\times p}(\mathbb{R})\) και \(B\in \mathrm{Mat}_{p\times n}(\mathbb{R})\), (δηλαδή το πλήθος στηλών του \(A\) είναι ίσο με το πλήθος γραμμών του \(B\)) τότε ορίζεται το γινόμενο \(A\cdot B\), το οποίο είναι ένας \(m\times n\) πίνακας. To \(i,j\) στοιχείο του πίνακα \(AB\) είναι το
$$ (AB)_{ij} = \sum_{k = 1}^p A_{ik} B_{kj}.$$
Είδαμε τις βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πινάκων.
Αρχίσαμε να μελετάμε την έννοια της αντιστρεψιμότητας πινάκων. Είπαμε, χωρίς να το δικαιολογήσουμε, ότι για να είναι ένας πίνακας \(A\in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{R})\) αντιστρέψιμος αρκεί να υπάρχει πίνακας \(A'\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{R})\) τέτοιος ώστε \(A A' = I\). Αν συμβαίνει αυτό, τότε είναι βέβαιο ότι θα ισχύει και \(A' A = I\) και άρα ο \(A\) είναι αντιστρέψιμος. Δείξαμε ότι αν δύο πίνακες \(A, B\) είναι αντιστρέψιμοι τότε το γινόμενο \(AB\) είναι αντιστρέψιμος πίνακας. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει \((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\). Γενικότερα, αν οι πίνακες \(A_1,\ldots, A_k\in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{R})\) είναι αντιστρέψιμοι, τότε και ο πίνακας \(A_1\cdots A_k\) είναι αντιστρέψιμος και ισχύει \[ (A_1 A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1}\cdots A_2^{-1} A_2^{-1}.\]
Είδαμε την απαλοιφή Gauss για την επίλυση γραμμικών συστημάτων.
Διαβάστε: παρ. 2.1 από το βιβλίο [2].
Διαβάστε: παρ. 2.2 από το βιβλίο [2].
Διαβάστε: παρ. 1.1 και 1.2 από το βιβλίο [2].
-
Είδαμε ότι ένας \(n\times n\) πίνακας \(A\) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν μετά την απαλοιφή Gauss προκύπτουν \(n\) οδηγοί, δηλαδή ο πίνακας έχει τάξη ίση με \(n\).
Είδαμε τη μέθοδο Gauss-Jordan για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα, εφόσον υπάρχει.
Είδαμε την ανάλυση \(LU\) του πίνακα \(A\).
Είδαμε την έννοια του υπόχωρου ενός διανυσματικού χώρου. Ειδικότερα, δείξαμε ότι αν \(U\) είναι ένα υποσύνολο του \(\mathbb{R}^n\), τότε είναι υπόχωρος του \(\mathbb{R}^n\) αν
- \(U\neq \emptyset\),
- Για κάθε \(v, u\in U\) και κάθε \(\lambda \in \mathbb{R}\) ισχύει \(v+\lambda u\in U\).
Είδαμε παραδείματα.
Αν \(v_1,\ldots,v_m\in V\) τότε ορίσαμε τον υπόχωρο που παράγεται από τα \(v_1,\ldots, v_m\) ως το σύνολο \(\{\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_m v_m : \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in \mathbb{R}\}\) και το συμβολίσαμε με \(\mathrm{span}(v_1,\ldots,v_m)\).
Συμβολίσαμε το χώρο που παράγουν οι στήλες ενός πίνακα \(A \in \mathbb{R}^{m\times n}\) με \(\mathcal{R}(A)\) και τον ονομάσαμε χώρο στηλών του \(A\).
Είδαμε επίσης, ότι αν \(A\in \mathbb{R}^{m\times n}\) τότε το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος \(A x = 0\) είναι υπόχωρος του \(\mathbb{R}^n\). Τον συμβολίσαμε με \(\mathcal{N}(A)\) και τον ονομάσαμε μηδενόχωρο του \(A\).
Διαβάστε: παρ. 2.2 από το βιβλίο [2].
Διαβάστε: παρ. 3.2 από το βιβλίο [2].
-
Λύσαμε ασκήσεις από το 1ο και 2ο φυλλάδιο.
Ορίσαμε πότε ένα σύνολο διανυσμάτων \(\{v_1,\ldots,v_m\}\) είναι γραμμικώς εξαρτημένο/ανεξάρτητο και είδαμε παραδείγματα. Είδαμε πώς μπορούμε να εξετάζουμε (αλγοριθμικά) εάν ένα δεδομένο σύνολο είναι εξαρτημένο/ανεξάρτητο.
Είδαμε ότι αν \(Τ\) είναι ένα σύνολο που παράγει τον χώρο \(V\) και \(S\) είναι ένα γραμμικώς ανεξάρτητο συνολο διανυσμάτων του \(V\), τότε \(|S| \leq |T|\) και μάλιστα μπορώ να κατασκευάσω ένα σύνολο διανυσμάτων \(Τ'\) το οποίο παράγει το χώρο \(V\), το οποίο να περιέχει κάθε διάνυσμα του \(S\).
Εάν \(V\) είναι ένας υπόχωρος του \(\mathbb{R}^n\) και \(B\) ένα σύνολο διανυσμάτων του, λέμε ότι το \(B\) είναι βάση του \(V\) εάν:
- Παράγει τον \(V\), δηλαδή \(V = \mathrm{span}(B)\) και
- Είναι γραμμικώς ανεξάρτητο.
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι όλες οι βάσεις του \(V\) έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, το οποίο ονομάσαμε διάσταση του χώρου \(V\) και συμβολίσαμε \(\mathrm{dim}(V)\).
Διαβάστε: παρ. 3.3 από το βιβλίο [2].
-
Είδαμε παραδείγματα βάσεων διανυσματικών χώρων. Για παράδειγμα, η διάσταστη του \(\mathcal{R}^n\) είναι ίση με \(n\), αφού η κανονική του βάση, \(\{e_1,\ldots, e_n\}\), περιέχει \(n\) διανύσματα. Για ένα δεδομένο πίνακα \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\), είδαμε πώς μπορούμε να υπολογίζουμε μία βάση του μηδενόχωρου του, \(\mathcal{N}(A)\) και μία βάση του χώρου στηλών του, \(\mathcal{R}(A)\). Αν \(A\in \mathbb{R}^{m\times n}\) και \(r = \mathrm{rank}(A)\) είναι η τάξη του πίνακα \(A\) (δηλαδή το πλήθος των οδηγών στον κλιμακωτό πίνακα που προκύπτει από την απαλοιφή Gauss), τότε \(\dim \mathcal{R}(A) = r\) και \(\dim \mathcal{N}(A) = n - r\). Βλέπουμε ότι πάντα ισχύει \(\dim \mathcal{N}(A) + \dim \mathcal{R}(A) = n\).
Λύσαμε ασκήσεις.
Διαβάστε: παρ. 3.3, 3.4 (έως σελ. 94) από το βιβλίο [2].
-
Ορίσαμε την έννοια της γραμμικής απεικόνισης από ένα χώρο \(V\) σε ένα χώρο \(W\).
Είδαμε ότι για κάθε γραμμική απεικόνιση \(f : \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m\), υπάρχει ένας (μοναδικός) πίνακας \(A\in \mathbb{R}^{m\times n}\), τέτοιος ώστε \(f(v) = A\cdot v\) για κάθε \(v\in \mathbb{R}^n\). Αυτός ο πίνακας ονομάζεται πίνακας της \(f\) και τον συμβολίζουμε με \([f]\). Είδαμε ότι οι στήλες του πίνακα \([f]\) είναι οι τιμές της \(f\) στα διανύσματα της κανονικής βάσης: η \(j\)-στήλη είναι το διάνυσμα \(f(e_j)\) για \(j=1, 2, \ldots, n\).
Είδαμε τη σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, η οποία είναι επίσης γραμμική απεικόνιση. Ειδικότερα, θεωρούμε τους χώρους \(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m, \mathbb{R}^k\ και είδαμε ότι αν \(f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) και \(g : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k\) είναι γραμμικές απεικονίσεις, τότε η σύνθεση τους \(g\circ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) με τύπο \(g\circ f(x) = g(f(x))\) είναι γραμμική και
\(
[g\circ f] = [g] \cdot [f].
\)Ορίσαμε τον πυρήνα και την εικόνα μίας γραμμικής απεικόνισης. Αν \(f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) και \(A\in \mathbb{R}^{m\times n}\) είναι ο πίνακας της \(f\), δείξαμε ότι \(\mathrm{ker}(f) = \mathcal{N}(A)\) και \(\mathrm{im}(f) = \mathcal{R}(A)\). Είδαμε παραδείγματα.
Είδαμε ότι η \(f\) είναι 1-1 αν και μόνο αν \(mathrm{ker}(f) = \{0\}\) και είναι επί αν και μόνο αν \(\mathrm{im}(f) = \mathbb{R}^m\).
Όταν η \(f\) είναι 1-1 και επί ονομάζεται ισομορφισμός και τότε είναι αντιστρέψιμη. Η αντίστροφη συνάρτηση, \(f^{-1} : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n\), είναι επίσης ισομορφισμός και
- \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}\) και \(f \circ f^{-1} = \mathrm{id}\)
- \([f^{-1}] = [f]^{-1}\)
Διαβάστε: παρ. 4.1 (έως σελ. 111) από το βιβλίο [2].
Διαβάστε: παρ. 4.2, 4.3 από το βιβλίο [2].
-
Λύσαμε ασκήσεις και κάναμε την πρόοδο του μαθήματος.