Section outline

  • Ορίσαμε την έννοια της γραμμικής απεικόνισης από ένα χώρο \(V\) σε ένα χώρο \(W\).

    Είδαμε ότι για κάθε γραμμική απεικόνιση \(f : \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m\), υπάρχει ένας (μοναδικός) πίνακας \(A\in \mathbb{R}^{m\times n}\), τέτοιος ώστε \(f(v) = A\cdot v\) για κάθε \(v\in \mathbb{R}^n\). Αυτός ο πίνακας ονομάζεται πίνακας της \(f\) και τον συμβολίζουμε με \([f]\). Είδαμε ότι οι στήλες του πίνακα \([f]\) είναι οι τιμές της \(f\) στα διανύσματα της κανονικής βάσης: η \(j\)-στήλη είναι το διάνυσμα \(f(e_j)\) για \(j=1, 2, \ldots, n\).

    Είδαμε τη σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, η οποία είναι επίσης γραμμική απεικόνιση. Ειδικότερα, θεωρούμε τους χώρους \(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m, \mathbb{R}^k\ και είδαμε ότι αν \(f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) και \(g : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k\) είναι γραμμικές απεικονίσεις, τότε η σύνθεση τους \(g\circ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) με τύπο \(g\circ f(x) = g(f(x))\) είναι γραμμική και 
    \(
    [g\circ f] = [g] \cdot [f].
    \)

    Ορίσαμε τον πυρήνα και την εικόνα μίας γραμμικής απεικόνισης. Αν \(f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) και \(A\in \mathbb{R}^{m\times n}\) είναι ο πίνακας της \(f\), δείξαμε ότι \(\mathrm{ker}(f) = \mathcal{N}(A)\) και \(\mathrm{im}(f) = \mathcal{R}(A)\). Είδαμε παραδείγματα.

    Είδαμε ότι η \(f\) είναι 1-1 αν και μόνο αν \(mathrm{ker}(f) = \{0\}\) και είναι επί αν και μόνο αν \(\mathrm{im}(f) = \mathbb{R}^m\).

    Όταν η \(f\) είναι 1-1 και επί ονομάζεται ισομορφισμός και τότε είναι αντιστρέψιμη. Η αντίστροφη συνάρτηση, \(f^{-1} : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n\), είναι επίσης ισομορφισμός και

    1. \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}\)  και \(f \circ f^{-1} = \mathrm{id}\)
    2. \([f^{-1}] = [f]^{-1}\)

    Διαβάστε: παρ. 4.1 (έως σελ. 111) από το βιβλίο [2].

    Διαβάστε: παρ. 4.2, 4.3 από το βιβλίο [2].