Συζητήσεις για το μάθημα (Forum)

Πες ότι ο πίνακας $U$ έχει $k$ μη μηδενικές γραμμές, τις $v_1,\ldots,v_k$. Κάθε μία από αυτές έχει οδηγό. Ας ονομάσουμε $a_i$ τον οδηγό της γραμμής $i$ και ας πούμε ότι βρίσκεται στη στήλη $j_i$. Παρατηρήστε ότι κάτω από κάθε οδηγό έχουμε μηδενικά. Ας πάρουμε τώρα ένα γραμμικό συνδασμό $x_1 v_1 + \cdots + x_n v_k = 0$. Ποιά είναι η $j_1$ συνιστώστα του $x_1 v_1 + \cdots + x_n v_k$; Είναι ίση με $x_1 a_1$. Όμως όλες οι συνιστώσες του $x_1 v_1 + \cdots + x_n v_k$ είναι ίσες με 0. Και $a_1\neq 0$, άρα $x_1=0$. Ποιά είναι η συνιστώσα $j_2$; Είναι ίση με $x_1\cdot (j_2\ \mbox{ συνιστώσα του } v_1) + x_2  a_2 = x_2 a_2$. Και $a_2\neq 0$, άρα $x_2 = 0$. Γενικά, η $j_m$ συνιστώσα του $x_1 v_1 + \cdots + x_n v_k$ είναι ίση με
$x_1\cdot (j_m\ \mbox{ συνιστώσα του } v_1) + x_2\cdot (j_m\ \mbox{ συνιστώσα του } v_2) + \cdots + x_{m-1}\cdot (j_m\ \mbox{ συνιστώσα του } v_2) +x_m a_m = x_m a_m$
διότι $x_1=\cdots=x_{m-1}=0$. Και $a_m\neq 0$, άρα $x_m=0$.

Έτσι όλοι οι συντελεστές πρέπει να είναι ίσοι με 0, άρα τα διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.