Καλημέρα σας , θα ήθελα να μου εξηγήσετε γιατί το άθροισμα <(1,0,0)>+<(0,1,0)> είναι ευθύ και γιατί ισχυει το εξής
Αν vε<(1,0,0)>U<(0,1,0)> τοτε v=x(1,0,0)=y(0,1,0)?
Το άθροισμα \( \langle (1,0,0)\rangle + \langle (0,1,0)\rangle\) είναι ευθύ, διότι \(\langle (1,0,0)\rangle \cap \langle (0,1,0)\rangle = \{(0,0,0)\}\). Πραγματικά, εάν \((x,y,z)\in \langle (1,0,0)\rangle \cap \langle (0,1,0)\rangle\), τότε \((x,y,z) = a (1,0,0) = b (0,1,0)\), που συνεπάγεται ότι \(x = a\cdot 1 = b\cdot 0 = 0\), οπότε \((x,y,z) = 0\cdot (1,0,0) = (0,0,0)\).
Η δεύτερη πρόταση που έχετε γράψει δεν είναι σωστή. Αυτό που ισχύει είναι ότι εάν \(v\in \langle (1,0,0)\rangle \cap \langle (0,1,0)\rangle\), τότε \(v = a (1,0,0) = b (0,1,0)\) για κάποια \(a,b\in \mathbb{R}\). Η ισότητα \(v = a (1,0,0)\) προκύπτει από το \(v\in \langle (1,0,0)\rangle\). Η ισότητα \(v = b (0,1,0)\) προκύπτει από το \(v\in \langle (0,1,0)\rangle\). Αφού το \(v\) ανήκει στην τομή των δύο υπόχωρων θα ανήκει σε καθένα από αυτούς.
Η δεύτερη πρόταση που έχετε γράψει δεν είναι σωστή. Αυτό που ισχύει είναι ότι εάν \(v\in \langle (1,0,0)\rangle \cap \langle (0,1,0)\rangle\), τότε \(v = a (1,0,0) = b (0,1,0)\) για κάποια \(a,b\in \mathbb{R}\). Η ισότητα \(v = a (1,0,0)\) προκύπτει από το \(v\in \langle (1,0,0)\rangle\). Η ισότητα \(v = b (0,1,0)\) προκύπτει από το \(v\in \langle (0,1,0)\rangle\). Αφού το \(v\) ανήκει στην τομή των δύο υπόχωρων θα ανήκει σε καθένα από αυτούς.
Ωραία ευχαριστώ πολύ