Καλησπέρα. Θα ήθελα αν γίνεται να μου εξηγήσετε, γιατί οι μη μηδενικές γραμμές του U πίνακα είναι γραμμικώς ανεξάρτητες, όπως αναφέρεται στην τελευταία πρόταση του 2ου βίντεο, της 6ησ διάλεξης.
Πες ότι ο πίνακας \(U\) έχει \(k\) μη μηδενικές γραμμές, τις \(v_1,\ldots,v_k\). Κάθε μία από αυτές έχει οδηγό. Ας ονομάσουμε \(a_i\) τον οδηγό της γραμμής \(i\) και ας πούμε ότι βρίσκεται στη στήλη \(j_i\). Παρατηρήστε ότι κάτω από κάθε οδηγό έχουμε μηδενικά. Ας πάρουμε τώρα ένα γραμμικό συνδασμό \(x_1 v_1 + \cdots + x_n v_k = 0\). Ποιά είναι η \(j_1\) συνιστώστα του \(x_1 v_1 + \cdots + x_n v_k\); Είναι ίση με \(x_1 a_1\). Όμως όλες οι συνιστώσες του \(x_1 v_1 + \cdots + x_n v_k\) είναι ίσες με 0. Και \(a_1\neq 0\), άρα \(x_1=0\). Ποιά είναι η συνιστώσα \(j_2\); Είναι ίση με \(x_1\cdot (j_2\ \mbox{ συνιστώσα του } v_1) + x_2 a_2 = x_2 a_2\). Και \(a_2\neq 0\), άρα \(x_2 = 0\). Γενικά, η \(j_m\) συνιστώσα του \(x_1 v_1 + \cdots + x_n v_k\) είναι ίση με
\[ x_1\cdot (j_m\ \mbox{ συνιστώσα του } v_1) + x_2\cdot (j_m\ \mbox{ συνιστώσα του } v_2) + \cdots + x_{m-1}\cdot (j_m\ \mbox{ συνιστώσα του } v_2) +x_m a_m = x_m a_m\]
διότι \(x_1=\cdots=x_{m-1}=0\). Και \(a_m\neq 0\), άρα \(x_m=0\).
Έτσι όλοι οι συντελεστές πρέπει να είναι ίσοι με 0, άρα τα διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
\[ x_1\cdot (j_m\ \mbox{ συνιστώσα του } v_1) + x_2\cdot (j_m\ \mbox{ συνιστώσα του } v_2) + \cdots + x_{m-1}\cdot (j_m\ \mbox{ συνιστώσα του } v_2) +x_m a_m = x_m a_m\]
διότι \(x_1=\cdots=x_{m-1}=0\). Και \(a_m\neq 0\), άρα \(x_m=0\).
Έτσι όλοι οι συντελεστές πρέπει να είναι ίσοι με 0, άρα τα διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Ευχαριστώ!!