Συζητήσεις για το μάθημα (Forum)

Καλησπέρα σε όλους, 

Στο δικό μου εργαστήριο σήμερα στο τέλος της ώρας τέθηκε μία ερώτηση την οποία λόγω χρόνου (επειδή μας έκοψε το zoom) δεν προλάβαμε να απαντήσουμε επομένως την απαντώ εδώ:

Η ερώτηση ήταν:

Στην άσκηση 7, όταν δείχναμε τη δεύτερη ανισότητα rM+rL>=n χρησιμοποιήσαμε ότι επειδή KerL,KerM είναι υπόχωροι του V τότε και το ευθύ άθροισμά τους θα είναι υπόχωρος του V και η ερώτηση ήταν γιατί είναι υπόχωρος και όχι όλος ο χώρος V ώστε να έχουμε ισότητα και τελικά να βγεί η ζητούμενη σχέση μόνο από εκεί. 

Απάντηση: 
Αρχικά, όταν έχουμε δύο υπόχωρους ενός χώρου V που ορίζεται το ευθύ άθροισμά τους, τότε αυτό είναι εν γένει υπόχωρος του V και όχι όλος ο χώρος. Φέρτε στο μυαλό σας την περίπτωση που είχαμε δύο υπόχωρους U,W, ενός χώρου V με U=W={0}. Τότε η τομή των U,W είναι το {0} άρα ορίζεται το ευθύ τους άθροισμα, όμως U+W δεν είναι εν γένει όλος ο χώρος V. ΑΝ οι U,W είναι υπόχωροι τέτοιοι ώστε το ευθύ τους άθροισμα να είναι όλος ο χώρος V τότε λέμε ότι είναι συμπληρωματικοί υπόχωροι και φυσικά dimU+dimW=dimV. (Όμως αυτό στην άσκηση δεν το είχαμε. Θυμηθείτε ότι ήταν αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε). 
Άρα λοιπόν εαν έχω ευθύ άθροισμα υποχώρων ενός διανυσματικού χώρου V τότε αυτό είναι εν γένει υπόχωρος και όχι όλος ο χώρος. Αν επιπλέον ισχύει ότι η διάσταση του ευθέως αθροίσματος είναι ίση με τη διάσταση του V τότε οι χώροι είναι συμπληρωματικοί και έχουμε ισότητα. 

Ελπίζω να κάλυψα την ερώτηση, κάθε άλλη απάντηση-διόρθωση πάνω στην δική μου είναι καλοδεχούμενη.
Καλή συνέχεια.