Συζητήσεις για το μάθημα (Forum)

Ορίσαμε την τάξη, $r(A)$, του πίνακα $A$ να είναι το πλήθος των οδηγών του κλιμακωτού πίνακα, $U$, στον οποίο καταλήγουμε με την απαλοιφή Gauss και έχουμε δείξει ότι είναι ίση με τη διάσταση του χώρου στηλών του. Δηλαδή $r(A) = \mathrm{dim} \mathcal{R}(A)$. Παρατηρήστε τώρα, ότι κάθε μη μηδενική γραμμή του $U$ έχει ακριβώς ένα οδηγό και το σύνολο των μη μηδενικών γραμμών είναι βάση του χώρου γραμμών του $U$, αλλά και του αρχικού πίνακα $A$. Οπότε η διάσταση του χώρου γραμμών του $A$ είναι επίσης ίση με την τάξη του. Δηλαδή $r(A) = \mathrm{dim} \mathcal{R}(A^T)$. Όμως, όπως είπαμε, $r(A^T) = \mathrm{dim} \mathcal{R}(A^T)$. Άρα $r(A) = r(A^T)$.