Κανείς δείχνει δύο εγκλεισμούς: \(X + Y \subseteq \langle X \cup Y\rangle\) και \(\langle X \cup Y\rangle \subseteq X + Y \).
Αν \(v\in X+Y\) τότε \(v=x+y\) για κάποια \(x\in X, y\in Y\). Όμως τότε \(x,y\in X\cup Y\) άρα \(x,y\in \langle X \cup Y\rangle\) και αφού ο \(\langle X \cup Y\rangle\) είναι υπόχωρος, είναι κλειστός ως προς την πρόσθεση διανυσμάτων, άρα \(v=x+y\in \langle X \cup Y\rangle\).
Αντίστροφα, εάν \(v\in \langle X \cup Y\rangle\), τότε \(v = \sum_{i}a_i v_i\) με \(v_i\in X\cup Y\). Αυτό σημαίνει ότι κάποια \(v_i\) ανήκουν στο \(X\) και κάποια ανήκουν στο \(Y\). Ας πούμε \(v_i\in X\) για \(i\in I\) και \(v_i\in Y\) για \(i\in J\). Τότε \(v = \sum_{i\in I} a_i v_i + \sum_{i\in J} a_i v_i\). Το \(x = \sum_{i\in I} a_i v_i \in X\) διότι ο \(X\) είναι υπόχωρος και για τον ίδιο λόγο \(y = \sum_{i\in J} a_i v_i \in Y\). Άρα \(v = x+y\) με \(x\in X, y\in Y\), οπότε \(v\in X + Y\).
Αν \(v\in X+Y\) τότε \(v=x+y\) για κάποια \(x\in X, y\in Y\). Όμως τότε \(x,y\in X\cup Y\) άρα \(x,y\in \langle X \cup Y\rangle\) και αφού ο \(\langle X \cup Y\rangle\) είναι υπόχωρος, είναι κλειστός ως προς την πρόσθεση διανυσμάτων, άρα \(v=x+y\in \langle X \cup Y\rangle\).
Αντίστροφα, εάν \(v\in \langle X \cup Y\rangle\), τότε \(v = \sum_{i}a_i v_i\) με \(v_i\in X\cup Y\). Αυτό σημαίνει ότι κάποια \(v_i\) ανήκουν στο \(X\) και κάποια ανήκουν στο \(Y\). Ας πούμε \(v_i\in X\) για \(i\in I\) και \(v_i\in Y\) για \(i\in J\). Τότε \(v = \sum_{i\in I} a_i v_i + \sum_{i\in J} a_i v_i\). Το \(x = \sum_{i\in I} a_i v_i \in X\) διότι ο \(X\) είναι υπόχωρος και για τον ίδιο λόγο \(y = \sum_{i\in J} a_i v_i \in Y\). Άρα \(v = x+y\) με \(x\in X, y\in Y\), οπότε \(v\in X + Y\).