Συζητήσεις για το μάθημα (Forum)

Κανείς δείχνει δύο εγκλεισμούς: $X + Y \subseteq \langle X \cup Y\rangle$ και $\langle X \cup Y\rangle \subseteq X + Y$.
Αν $v\in X+Y$ τότε $v=x+y$ για κάποια $x\in X, y\in Y$. Όμως τότε $x,y\in X\cup Y$ άρα $x,y\in \langle X \cup Y\rangle$ και αφού ο $\langle X \cup Y\rangle$ είναι υπόχωρος, είναι κλειστός ως προς την πρόσθεση διανυσμάτων, άρα $v=x+y\in \langle X \cup Y\rangle$.
Αντίστροφα, εάν $v\in \langle X \cup Y\rangle$, τότε $v = \sum_{i}a_i v_i$ με $v_i\in X\cup Y$. Αυτό σημαίνει ότι κάποια $v_i$ ανήκουν στο $X$ και κάποια ανήκουν στο $Y$. Ας πούμε $v_i\in X$ για $i\in I$ και $v_i\in Y$ για $i\in J$. Τότε $v = \sum_{i\in I} a_i v_i + \sum_{i\in J} a_i v_i$. Το $x = \sum_{i\in I} a_i v_i \in X$ διότι ο $X$ είναι υπόχωρος και για τον ίδιο λόγο $y = \sum_{i\in J} a_i v_i \in Y$. Άρα $v = x+y$ με $x\in X, y\in Y$, οπότε $v\in X + Y$.