Πως προκυπτει οτι απο το συνολο των (2,-1,0) + Χ3(2,-1,1) για Χ ανηκει R
ΟΤΙ ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ Ο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΤΟΥ (1,3,3) ΕΙΝΑΙ ΤΑ (2,-1,0) ΚΑΙ (0,-2,-1)
Σε απάντηση σε ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΗΛΙΑΣ ΝΙΚΗΤΑΚΗΣ
Απάντηση: 5.6 το 2ο ερωτημα προς το τελος της λυσης
από ΧΡΥΣΑΦΙΝΑ ΡΟΔΙΤΟΥ -
Καλησπέρα Βασίλη,
Κάθε λύση του συστήματος για (a,b,c)=(1,3,3) αποτελεί και έναν τρόπο (ουσιαστικά η λύση (x1,x2,x3) είναι οι συντελεστές) για να γράψεις το διάνυσμα (1,3,3) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων v1,v2,v3.
Άρα λοιπόν εάν έχουμε μία λύση του συστήματος τότε έχουμε και έναν τρόπο για να γράψουμε το (1,3,3) σαν γραμμικό συνδυασμό των v1,v2,v3.
Εμείς βρήκαμε το σύνολο λύσεων αυτού του συστήματος, που είναι το {(2,-1,0)+χ3(-2,-1,1) : x3 ανήκει στο R}, δηλαδή για κάθε x3 πραγματικό αριθμό έχουμε και μία λύση του συστήματος (και άρα και μία γραφή του (1,3,3) σαν γραμμικό συνδυασμό των v1,v2,v3).
Η άσκηση μας ζητούσε δύο τέτοιους τρόπους, δηλαδή δύο από τις λύσεις του συστήματος. Επιλέγουμε λοιπόν τις λύσεις για:
x3=0: (2,-1,0)+0(-2,-1,1)=(2,-1,0) και
x3=1: (2,-1,0)+1(-2,-1,1)=(0,-2,1)
και συνεπώς, για την 1η λύση έχουμε: (1,3,3)=(2,-1,0)*(v1,v2,v3)=2v1-v2
και για τη 2η λύση έχουμε: (1,3,3)=(0,-2,1)*(v1,v2,v3)=-2v2+v3.
Φυσικά, έχουμε άπειρους τρόπους να γράψουμε το (1,3,3) σαν γραμμικό συνδυασμό των v1,v2,v3 αφού έχουμε ένα άπειρο σύνολο λύσεων του συστήματος, οπότε θα μπορούσαμε να βάλουμε όποιο x3 πραγματικό αριθμό θέλαμε και να πάρουμε έναν γραμμικό συνδυασμό. Η επιλογή x3=0,1 (και γενικώς μικρά νούμερα) γίνεται συνήθως για ευκολία στις πράξεις.
Ελπίζω να βοήθησα, αν χρειάζεσαι κάτι επιπλέον μπορείς βεβαίως να ξαναρωτήσεις.
Καλή συνέχεια.
Κάθε λύση του συστήματος για (a,b,c)=(1,3,3) αποτελεί και έναν τρόπο (ουσιαστικά η λύση (x1,x2,x3) είναι οι συντελεστές) για να γράψεις το διάνυσμα (1,3,3) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων v1,v2,v3.
Άρα λοιπόν εάν έχουμε μία λύση του συστήματος τότε έχουμε και έναν τρόπο για να γράψουμε το (1,3,3) σαν γραμμικό συνδυασμό των v1,v2,v3.
Εμείς βρήκαμε το σύνολο λύσεων αυτού του συστήματος, που είναι το {(2,-1,0)+χ3(-2,-1,1) : x3 ανήκει στο R}, δηλαδή για κάθε x3 πραγματικό αριθμό έχουμε και μία λύση του συστήματος (και άρα και μία γραφή του (1,3,3) σαν γραμμικό συνδυασμό των v1,v2,v3).
Η άσκηση μας ζητούσε δύο τέτοιους τρόπους, δηλαδή δύο από τις λύσεις του συστήματος. Επιλέγουμε λοιπόν τις λύσεις για:
x3=0: (2,-1,0)+0(-2,-1,1)=(2,-1,0) και
x3=1: (2,-1,0)+1(-2,-1,1)=(0,-2,1)
και συνεπώς, για την 1η λύση έχουμε: (1,3,3)=(2,-1,0)*(v1,v2,v3)=2v1-v2
και για τη 2η λύση έχουμε: (1,3,3)=(0,-2,1)*(v1,v2,v3)=-2v2+v3.
Φυσικά, έχουμε άπειρους τρόπους να γράψουμε το (1,3,3) σαν γραμμικό συνδυασμό των v1,v2,v3 αφού έχουμε ένα άπειρο σύνολο λύσεων του συστήματος, οπότε θα μπορούσαμε να βάλουμε όποιο x3 πραγματικό αριθμό θέλαμε και να πάρουμε έναν γραμμικό συνδυασμό. Η επιλογή x3=0,1 (και γενικώς μικρά νούμερα) γίνεται συνήθως για ευκολία στις πράξεις.
Ελπίζω να βοήθησα, αν χρειάζεσαι κάτι επιπλέον μπορείς βεβαίως να ξαναρωτήσεις.
Καλή συνέχεια.
Σε απάντηση σε ΧΡΥΣΑΦΙΝΑ ΡΟΔΙΤΟΥ
Απάντηση: 5.6 το 2ο ερωτημα προς το τελος της λυσης
Χρυσαφίνα σ ευχαριστώ πολύ !!