Γειά σας
Μπορείτε να μου εξηγήσετε αναλυτικά πως λύνεται η άσκηση με τα διανύσματα που ανήκουν στον χώρο που δίνεται, του δοκιμαστικού τεστ;
Επιπλέον έχω λίγο μπερδευτεί με το πως αποδεικνύουμε ότι ένα σύνολο είναι υπόχωρος ενός διανυσματικού χώρου.
Εφαρμόζουμε το κριτήριο του υπόχωρου με ποιον τρόπο; Παίρνουμε απλά τυχαίο πολλαπλάσιο (λ) και αποδεικνύουμε ότι λv + u ανήκει επίσης στον χώρο που μας δίνεται;
Ευχαριστώ πολύ
Σχετικά με το κριτήριο του υπόχωρου, κάνουμε ακριβώς αυτό που λέτε: Κατ' αρχάς δείχνουμε ότι το υποσύνολο είναι μη κενό. Μετά παίρνουμε το τυχόν \(\lambda\in \mathbb{R}\) και τυχόντα διανύσματα \(v,u\) στο υποσύνολο και δείχνουμε ότι το \(\lambda v+u\) ανήκει στο υποσύνολο.
Το \(v\in \mathbb{R}^n\) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα \(v_1,\ldots,v_k\) αν και μόνο αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί \(x_1,\ldots,x_k\) τέτοιοι ώστε \(v = x_1 v_1 + \cdots + x_k v_k\). Ισόδυναμα αν το σύστημα \(A x = v\) έχει λύση, όπου \(A\) είναι ο πίνακας με στήλες τα διανύσματα \(v_1,\ldots,v_k\). Λύνουμε το σύστημα και αν έχει λύση τότε το \(v\) ανήκει στον υπόχωρο, ενώ αν δεν έχει λύση, τότε δεν ανήκει.
