Καλησπέρα Γιώργο,
Υπάρχουν διάφορες περιπτώσεις στις οποίες φαίνεται η χρησιμότητα της εναλλαγής γραμμών σε ένα σύστημα. Μία από αυτές είναι και η άσκηση 1.5 στο 1ο φυλλάδιο. Εκεί, εκτελώντας τα βήματα της απαλοιφής Gauss, καταλήγουμε σε έναν πίνακα της μορφής:
1 -1 1 | 1
0 α 1-α| b-α
0 2 1 | 2
Σε αυτό το σημείο, για να συνεχίσεις την απαλοιφή έχεις δύο δρόμους. Ο πρώτος είναι να πολλαπλασιάσεις με -2/α τη δεύτερη εξίσωση και να την προσθέσεις στην τρίτη, μόνο που αυτό το σημείο θέλει προσοχή, διότι δεν γνωρίζουμε ότι το α είναι μη μηδενικό. Άρα για να το κάνεις αυτό θα πρέπει να διακρίνεις περιπτώσεις για το α, μία περίπτωση α=0 (και λύνεις το σύστημα) και μία α διάφορο του 0 και διαιρείς συνεχίζοντας τη διαδικασία.
Ο δεύτερος δρόμος (και ο πιο σύντομος) είναι να εναλλάξεις τη 2η με την 3η γραμμή του πίνακα. Αυτό που θα πετύχεις έτσι είναι ότι ο 2ος οδηγός σου πλέον θα είναι το 2 και όχι το α και συνεπώς δε θα χρειαστεί να διαιρέσεις με το α, αλλά θα πολλαπλασιάσεις τη 2η πια εξίσωση με -α/2 και θα την προσθέσεις στην 3η, συνεχίζοντας τη διαδικασία και γλιτώνοντας κάποιο κόπο.
Ωστόσο, και οι δύο τρόποι είναι σωστοί.
Γενικότερα τώρα, δεν υπάρχει κάποιος κανόνας για το πότε είναι βοηθητικό να κάνεις την εναλλαγή γραμμών. Κοιτάζεις σε κάθε περίπτωση το σύστημα και κάποιες φορές είναι εμφανές ότι χρειάζεται ενώ σε κάποιες άλλες περιπτώσεις μπορεί να μη χρειαστεί και καθόλου, για παράδειγμα εάν έχεις τον πίνακα:
0 2 1 | 1
1 3 5 | 2
0 0 1 | 1
Τότε παρατήρησε ότι η 1η γραμμή έχει μηδενικό στοιχείο στην πρώτη θέση, ενώ από κάτω στη δεύτερη γραμμή υπάρχει μη μηδενικό στοιχείο επομένως για να κάνουμε την απαλοιφή θα χρειαστεί να εναλλάξουμε την 1η με τη 2η γραμμή.
Ελπίζω να βοήθησα, εαν και πάλι έχεις απορία μπορείς φυσικά να ξαναρωτήσεις.
Καλή συνέχεια.
