Section outline

  • Ορίσαμε τους δυωνυμικούς συντελεστές \binom{n}{k} για n\geq 1 και 0\leq k\leq n, δείξαμε ότι ικανοποιούν τις σχέσεις

    \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1, \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k},\ \ 1\leq k\leq n-1.

    Δείξαμε το δυωνυμικό θεώτημα:

    (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}.

    Δείξαμε ότι το πλήθος των υποσυνόλων k στοιχείων του συνόλου \{1,2,\ldots,n\} είναι επίσης ίσο με \binom{n}{k}.

    Αποδείξαμε ότι \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\ (n-k)!}

    Δείξαμε ότι το πλήθος των μεταθέσεων (διατάξεων) n αντικειμένων είναι ίσο με n!

    Είδαμε παραδείγματα.

    Δείξαμε ότι το πλήθος ακέραιων λύσεων της εξίσωσης

    x_1 + \cdots + x_m = n, \ \ x_i \geq 0

    είναι \binom{n+m-1}{m-1} = \binom{n+m-1}{n}.

    Είδαμε τη γενίκευση του δυωνυμικού θεωρήματος:

    (x_1+\cdots+x_m)^n = \sum_{i_1+\cdots+i_m=n} \binom{n}{i_1,\ldots,i_m} x_1^{i_1}\cdots x_m^{i_m}.

    Ο συντελεστής

    \binom{n}{i_1,\ldots,i_m} = \frac{n!}{i_1!\cdots i_m!}

    εκφράζει το πλήθος των διατάξεων m ομάδων όμοιων αντικειμένων, όπου η ομάδα j έχει i_j (όμοια μεταξύ τους) αντικείμενα. Ισοδύναμα, είναι το πλήθος των αναγραμματισμών μίας λέξης m διακεκριμένων γραμμάτων, όπου το 1ο γράμμα εμφανίζεται i_1 φορές, το 2ο γράμμα i_2 φορές κλπ και i_1+\cdots+i_m=n.

    Διαβάστε: σελ. 112-120 από τις σημειώσεις Χ. Κουρουνιώτη.