Θεμελιώδεις υπόχωροι

Θεμελιώδεις υπόχωροι

από ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΚΗΣ -
Αριθμός απαντήσεων: 4

Καλησπέρα σας

Μήπως μπορείτε να μου εξηγήσετε γιατί για τον χώρο στηλών του Α ισχύει ότι R(A) ⊆ ℝm ;

Σε απάντηση σε ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΚΗΣ

Απάντηση: Θεμελιώδεις υπόχωροι

από ΧΡΥΣΑΦΙΝΑ ΡΟΔΙΤΟΥ -
Καλησπέρα Γιώργο,

Αυτό, μπορείς να το δεις ως εξής: Πάρε έναν mxn πίνακα Α. Τότε αυτός θα έχει m γραμμές και n στήλες. Αν κοιτάξεις κάθε στήλη αυτού του πίνακα, τότε αυτή είναι ένα διάνυσμα το οποίο έχει m συντεταγμένες. Άρα είναι ένα διάνυσμα του R^m. Συνεπώς, ο χώρος που παράγεται από τις στήλες δηλαδή ο R(A) θα είναι υποσύνολο του R^m.

Για να το κάνεις πιο συγκεκριμένο πάρε έναν 3x4 πίνακα Α:
α0 α1 α2 α3
β0 β1 β2 β3
γ0 γ1 γ2 γ3

Τότε οι στήλες (α0,β0,γ0), (α1,β1,γ1), (α2,β2,γ2) και (α3,β3,γ3) είναι όλες διανύσματα του R^3.
Με την ίδια λογική είναι φανερό ότι ο χώρος γραμμών αποτελείται από διανύσματα με 4 συντεταγμένες συνεπώς, R(A^T)⊆R^4 και στη γενικότητα R(A^T)⊆R^n.
Eλπίζω να βοήθησα, όμως μπορείς πάντα να ξαναρωτήσεις εαν κάτι δεν ήταν σαφές.

Καλή συνέχεια!
Σε απάντηση σε ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΚΗΣ

Απάντηση: Θεμελιώδεις υπόχωροι

από ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΑΠΕΤΑΝΑΚΗΣ -
Καλησπέρα Γιώργο,
Αν A\in\mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb{R}), τότε ο A έχει n στήλες που η καθεμιά τους ανήκει στο \mathbb{R}^m. Για παράδειγμα, δες τον παρακάτω 2\times 3 πίνακα \begin{pmatrix} 1&2&3\\4&5&6 \end{pmatrix} , που η κάθε στήλη ανήκει στο \mathbb{R}^2.
Άρα, αφού κάθε στήλη ανήκει στο \mathbb{R}^m, ο χώρος που θα παράγουν θα είναι υπόχωρος του \mathbb{R}^m.