" Αν Α∈Matmxn(ℝ) και το σύστημα Αx = 0 έχει μοναδική λύση, τότε m = n "
Θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε γιατί αυτή η πρόταση είναι λανθασμένη;
Αυτή η πρόταση λέει ότι όταν ο πίνακας είναι τετραγωνικός (m=n) τότε το ομογενές έχει λύση, ενώ ισχύει αν και μόνο αν rank A=n το ΑΧ=0 έχει μοναδική λύση
Από την πρόταση \(A \in\mathrm{Mat}_{m\times n} (\mathbb{R})\) και \(Ax=0\) έχει μοναδική λύση, παίρνουμε ότι \(m\geq n\).
Πάρε για παράδειγμα τον πίνακα
\[A = \left(\begin{array}{rr}1&0\\ 0&1\\ 1&1\end{array}\right).\]
Το σύστημα \(Ax=0\) έχει μόνο τη μηδενική λύση, αλλά \(m=3>2=n\).