Για να είναι το υποσύνολο \(U\) του γραμμικού χώρου \(V\) υπόχωρος πρέπει να είναι μη κενό και για κάθε \(\lambda\in\mathbb{R}\) και κάθε \(u,v,\in U\) πρέπει να ισχύει \(\lambda v+u\in U\). Δεν επιλέγεις με κάποιο τρόπο τα \(\lambda, v,u\). Πρέπει να είναι τυχόντα. Το \(\lambda v + u \in U\) πρέπει να ισχύει για κάθε \(\lambda\in\mathbb{R}\) και για κάθε \(v,u\in U\).
Για το σύνολο \(U=\{(x,ax)\in \mathbb{R}^2\ :\ x\in \mathbb{R}\}\), παρατήρησε αρχικά ότι δεν είναι κενό (γιατί;) Ας πάρουμε ένα (οποιοδήποτε) πραγμτικό αριθμό \(\lambda\) και δύο (οποιαδήποτε) στοιχεία του \(U\), ας πούμε τα \((x_1,ax_1)\) και \((x_2,ax_2)\). Τότε
\[\lambda (x_1,ax_1) + (x_2,ax_2) = (\lambda x_1+x_2, a (\lambda x_1+x_2)) \in U, \]
διότι είναι της μορφής \((x,ax)\) με \(x=\lambda x_1+x_2\in \mathbb{R}\).
Για το σύνολο \(U=\{(x,ax)\in \mathbb{R}^2\ :\ x\in \mathbb{R}\}\), παρατήρησε αρχικά ότι δεν είναι κενό (γιατί;) Ας πάρουμε ένα (οποιοδήποτε) πραγμτικό αριθμό \(\lambda\) και δύο (οποιαδήποτε) στοιχεία του \(U\), ας πούμε τα \((x_1,ax_1)\) και \((x_2,ax_2)\). Τότε
\[\lambda (x_1,ax_1) + (x_2,ax_2) = (\lambda x_1+x_2, a (\lambda x_1+x_2)) \in U, \]
διότι είναι της μορφής \((x,ax)\) με \(x=\lambda x_1+x_2\in \mathbb{R}\).