Συζητήσεις για το μάθημα (Forum)

Για να είναι το υποσύνολο $U$ του γραμμικού χώρου $V$ υπόχωρος πρέπει να είναι μη κενό και για κάθε $\lambda\in\mathbb{R}$ και κάθε $u,v,\in U$ πρέπει να ισχύει $\lambda v+u\in U$. Δεν επιλέγεις με κάποιο τρόπο τα $\lambda, v,u$. Πρέπει να είναι τυχόντα. Το $\lambda v + u \in U$ πρέπει να ισχύει για κάθε $\lambda\in\mathbb{R}$ και για κάθε $v,u\in U$.
Για το σύνολο $U=\{(x,ax)\in \mathbb{R}^2\ :\ x\in \mathbb{R}\}$, παρατήρησε αρχικά ότι δεν είναι κενό (γιατί;) Ας πάρουμε ένα (οποιοδήποτε) πραγμτικό αριθμό $\lambda$ και δύο (οποιαδήποτε) στοιχεία του $U$, ας πούμε τα $(x_1,ax_1)$ και $(x_2,ax_2)$. Τότε
$\lambda (x_1,ax_1) + (x_2,ax_2) = (\lambda x_1+x_2, a (\lambda x_1+x_2)) \in U,$
διότι είναι της μορφής $(x,ax)$ με $x=\lambda x_1+x_2\in \mathbb{R}$.