12 Οκτωβρίου - 18 Οκτωβρίου

Είδαμε ότι ένας \(n\times n\) πίνακας \(A\) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν μετά την απαλοιφή Gauss προκύπτουν \(n\) οδηγοί, δηλαδή ο πίνακας έχει τάξη ίση με \(n\).

Είδαμε τη μέθοδο Gauss-Jordan για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα, εφόσον υπάρχει.

Είδαμε την ανάλυση \(LU\) του πίνακα \(A\). 

Είδαμε την έννοια του υπόχωρου ενός διανυσματικού χώρου. Ειδικότερα, δείξαμε ότι αν \(U\) είναι ένα υποσύνολο του \(\mathbb{R}^n\), τότε είναι υπόχωρος του \(\mathbb{R}^n\) αν 

1. \(U\neq \emptyset\),
2. Για κάθε \(v, u\in U\) και κάθε \(\lambda \in \mathbb{R}\) ισχύει \(v+\lambda u\in U\).

Είδαμε παραδείματα.

Αν \(v_1,\ldots,v_m\in V\) τότε ορίσαμε τον υπόχωρο που παράγεται από τα \(v_1,\ldots, v_m\) ως το σύνολο \(\{\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_m v_m : \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in \mathbb{R}\}\) και το συμβολίσαμε με \(\mathrm{span}(v_1,\ldots,v_m)\).

Συμβολίσαμε το χώρο που παράγουν οι στήλες ενός πίνακα \(A \in \mathbb{R}^{m\times n}\) με \(\mathcal{R}(A)\) και τον ονομάσαμε χώρο στηλών του \(A\).

Είδαμε επίσης, ότι αν \(A\in \mathbb{R}^{m\times n}\) τότε το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος \(A x = 0\) είναι υπόχωρος του \(\mathbb{R}^n\). Τον συμβολίσαμε με \(\mathcal{N}(A)\) και τον ονομάσαμε μηδενόχωρο του \(A\).

Διαβάστε: παρ. 2.2 από το βιβλίο [2].

Διαβάστε: παρ. 3.2 από το βιβλίο [2].