Section outline

  • Ορίσαμε την έννοια της ορίζουσας ενός n \times n πίνακα A= (a_{ij}) . Είδαμε ότι η ορίζουσα μπορεί να αναπτυχθεί ως προς οποιαδήποτε γραμμή και ισούται με 

    \det(A)= a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2} + \cdots +a_{in}C_{in} 

    όπου η παραπάνω σχέση είναι το ανάπτυγμα ως προς την γραμμή i και   C_{i,j} είναι ο i,j-συμπαράγοντας του Α. Δηλαδή C_{ij}= (-1)^{i+j} \det(A_{ij}) όπου A_{i,j} είναι ο (n-1) \times (n-1)  πίνακας που προκύπτει από τον A αν διαγράψουμε την i-γραμμή και τη j-στήλη. Είδαμε βασικές ιδιότητες της ορίζουσας:

    1. \det(r_1,\ldots,r'_i + \lambda r''_i,\ldots,r_n)=\det(r_1,\ldots,r'_i,\ldots,r_n)+ \lambda\det(r_1,\ldots,r''_i,\ldots,r_n)
    2. Αν δύο γραμμές του Α είναι ίδιες τότε \det(A) = 0
    3.  \det I_n=1
    4. Αν εναλλάξουμε δύο γραμμές του πίνακα η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο 
    5. Αν ο πίνακας B προκύπτει από τον πίνακα A  προσθέτοντας στην γραμμή i ένα πολλαπλάσιο της γραμμής j, τότε η ορίζουσα παραμένει ίδια, δηλαδή \det(A)= \det(B)
    6. \det(A B)=\det(A)\cdot \det(B)
    7. Αν ο πίνακας A είναι άνω (ή κάτω) τριγωνικός, τότε η ορίζουσα του είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου.
    8. \det(A^{\top})=\det(A) (και άρα μπορούμε να πάρουμε ανάπτυγμα ορίζουσας ως προς οποιαδήποτε στήλη και όχι μόνο γραμμή)
    9. \det(A) \neq 0 αν και μόνο αν Α είναι αντιστρέψιμος. 

    Κάναμε παραδείγματα υπολογισμού οριζουσών και είδαμε σαν εφαρμογή ότι μπορούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο (αν υπάρχει) ενός πίνακα  Α σαν 

    A^{-1}= \frac{1}{ \det(A) }adjA

    όπου adjA= (C_{ij})^{\top} είναι ο ανάστροφος του πίνακα συμπαραγόντων του Α.

    Διαβάστε: παρ.2.3  από το  [2]