Δραστηριότητες διάλεξης 3

1. Θεωρούμε το σύνολο $\mathbb{R}[x]$ των πολυωνύμων ως διανυσματικό χώρο πάνω από το $\mathbb{R}$, με πράξεις $\dotplus$ και $\cdot$. Δίδονται τα πολυώνυμα $p,\,q \in \mathbb{R} [x]$, $p(x) = 3x^2 - 2x$ και $q(x)=2x^3+x-5$.

1. Βρείτε τα πολυώνυμα $p\dotplus q$, $2\cdot p$ και $(3\cdot p) \dotplus (1/\sqrt{2} \cdot q)$.
2. Βρείτε πολυώνυμα $r,\,s \in \mathbb{R} [x]$ τέτοια ώστε $p = 3\cdot r$ και $q = 2\cdot p \dotplus s$

Προσέξτε οτι για τον ορισμό του διανυσματικού χώρου των πολυωνύμων, δεν μας ενδιαφέρει το γινόμενο δύο πολυωνύμων, αλλά μόνο ο πολλαπλασιαμός πολυωνύμου με αριθμό.

2. Θεωρούμε το σύνολο $\mathbb{R}^\infty$ των ακολουθιών ως διανυσματικό χώρο πάνω από το $\mathbb{R}$, με πράξεις $\dotplus$ και $\cdot$. Δίδονται οι ακολουθίες $(a),\,(b) \in\mathbb{R}^\infty$, $a_n = 3n^2$ και $b_n=2n+1$.

1. Βρείτε τις ακολουθίες $(a)\dotplus (b$, $\sqrt{2}\cdot (b)$ και $1/3\cdot (a) \dotplus 3 \cdot (b)$.
2. Βρείτε ακολουθίες $(c),\,(d) \in\mathbb{R}^\infty$ τέτοιες ώστε $(a) = 2\cdot (c)$ και $(b) = 1/3 \cdot (a) \dotplus 2 \cdot (d)$.

3. Θεωρούμε το σύνολο $X = \{a,\,b,\,c\}$ και το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το $X$ στο σώμα των ρητών αριθμών, δηλαδή το σύνολο $\mathbb{Q}^X$, ως διανυσματικό χώρο πάνω από το $\mathbb{Q}$ με πράξεις $\dotplus$ και $\cdot$.

1. Γράψτε δύο παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων $f$ και $g$, δηλαδή ορίστε τις τιμές της $f$ και της $g$ στα στοιχεία $a,\,b,\,c$ του συνόλου $X$.
2. Υπολογίστε τα "διανύσματα'' $f \dotplus g$, $2\cdot f$ και $3\cdot f \dotplus 2 \cdot g$.
3. Βρείτε "διάνυσμα'' $h$ τέτοιο ώστε $g \dotplus 2 \cdot h = 3 \cdot f$.