Δραστηριότητες 1Β

1. Επαληθεύστε οτι κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός έχει αντίστροφο: Εάν $a+\mathrm{i} b \neq 0$, βρείτε $c$ και $d$ τέτοια ώστε $(a+\mathrm{i} b)(c+\mathrm{i} d) = 1 + \mathrm{i}0$.

2. Βρείτε το αντίθετο και το αντίστροφο του αριθμού $2+3\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Βεβαιωθείτε οτι ανήκουν στο σύνολο $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

3. Βρείτε το αντίθετο και το αντίστροφο του "αριθμού" $2_3 \in \mathbb{Z}_3$.

4. Ελέγξτε οτι $1_3 + 2_3 = 2_3 + 1_3$ και οτι $2_3(1_3+2_3) = 2_3 1_3 + 2_3 2_3$.
Μπορείτε να αποδείξετε οτι η αντιμεταθετική και η επιμεριστική ιδιότητα ισχύουν για οποιαδήποτε στοιχεία του $\mathbb{Z}_3$;

5. Δείξτε οτι σε ένα αλγεβρικό σώμα $(-a)b = -(ab)$, δηλαδή οτι το γινόμενο του αντίθετου του $a$ και του $b$ είναι ίσο με το αντίθετο του $ab$, ακολουθώντας τη μέθοδο των σημειώσεων, δηλαδή χρησιμοποιώντας τον ορισμό του αντιθέτου και την επιμεριστική ιδιότητα.
Εναλλακτικά, μπορείτε να αποδείξετε οτι $(-a)b = -(ab)$ χρησιμοποιώντας την ιδιότητα που έχει ήδη αποδειχθεί, $a(-b) = -(ab)$, και την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.