Δραστηριότητες, Διαγωνιοποίηση

1. Υπολογίστε τις ιδιοτιμές του πίνακα $A=\left[ \begin{array}{rr}2&1\\9&2\end{array}\right]$, δηλαδή τις ρίζες του πολυωνύμου $\det(A-\lambda I)=\left| \begin{array}{cc}2-\lambda&1\\9&2-\lambda\end{array}\right|$.

Επαληθεύστε οτι το άθροισμα των ιδιοτιμών είναι ίσο με το ίχνος του πίνακα και το γινόμενο των ιδιοτιμών είναι ίσο με την ορίζουσα του πίνακα.

2. Υπολογίστε τις μιγαδικές ιδιοτιμές του πίνακα $B=\left[ \begin{array}{rr}1&1\\-2&3\end{array}\right]$.

Επαληθεύστε οτι το άθροισμα των ιδιοτιμών είναι ίσο με το ίχνος του πίνακα και το γινόμενο των ιδιοτιμών είναι ίσο με την ορίζουσα του πίνακα.

Για κάθε ιδιοτιμή βρείτε ένα ιδιοδιάνυσμα του $B$ στο $\mathbb{C}^2$. (Παρατηρήστε οτι $(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i}) = 2$.)

3. Θεωρήστε τον πίνακα $R$ που έχει ως στήλες τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα $B$ που υπολογίσατε στο 2, και τον διαγώνιο πίνακα $\Lambda$ που έχει τις ιδιοτιμές στην αντίστοιχη θέση στη διαγώνιο.

Επαληθεύστε οτι  $B R = R \Lambda$.