Section outline

  • Λύσαμε ασκήσεις από το 1ο και 2ο φυλλάδιο.

    Ορίσαμε πότε ένα σύνολο διανυσμάτων \(\{v_1,\ldots,v_m\}\) είναι γραμμικώς εξαρτημένο/ανεξάρτητο και είδαμε παραδείγματα. Είδαμε πώς μπορούμε να εξετάζουμε (αλγοριθμικά) εάν ένα δεδομένο σύνολο είναι εξαρτημένο/ανεξάρτητο.

    Είδαμε ότι αν \(Τ\) είναι ένα σύνολο που παράγει τον χώρο \(V\) και \(S\) είναι ένα γραμμικώς ανεξάρτητο συνολο διανυσμάτων του \(V\), τότε \(|S| \leq |T|\) και μάλιστα μπορώ να κατασκευάσω ένα σύνολο διανυσμάτων \(Τ'\) το οποίο παράγει το χώρο \(V\), το οποίο να περιέχει κάθε διάνυσμα του \(S\).

     Εάν \(V\) είναι ένας υπόχωρος του \(\mathbb{R}^n\) και \(B\) ένα σύνολο διανυσμάτων του, λέμε ότι το \(B\) είναι βάση του \(V\) εάν:

    1. Παράγει τον \(V\), δηλαδή \(V = \mathrm{span}(B)\) και
    2. Είναι γραμμικώς ανεξάρτητο.

    Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι όλες οι βάσεις του \(V\) έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, το οποίο ονομάσαμε διάσταση του χώρου \(V\) και συμβολίσαμε \(\mathrm{dim}(V)\).

    Διαβάστε: παρ. 3.3 από το βιβλίο [2].